研究函数

\[
z=f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^4+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]

在 $(0,0)$ 处的全微分是否存在.

类似的也可以考虑函数

\[
z=f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^2+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]

它在 $(0,0)$ 处也是不可微的.

证明 $x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x$, $x>0$

求 $f(t)=\frac{1}{1-t}+\frac{2}{t}$ 的最小值, 这里 $t\in(0,1)$.

Question:  能否用初等方法做?

设 $f(x)$ 是奇函数, 且可导. 证明 $g(x)=f'(x)$ 是偶函数.

Hint:

对 $f(-x)=-f(x)$ 两边求导, 得

\[
f'(-x)\cdot(-1)=-f'(x),
\]

而 $g(-x)=f'(-x)$, 因此

\[
g(-x)=f'(-x)=f'(x)=g(x).
\]
 

设 $x_1,x_2,\ldots,x_n\in[0,1]$. 证明, 存在 $t_0\in[0,1]$, 使得

\[
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|t_0-x_i|=\frac{1}{2}.
\]

设 $f,g\in C[a,b]$, 且点列 $x_n\in[a,b]$ 满足

\[f(x_{n+1})=g(x_n),\quad n\in\mathbb{N}^*\]

证明: 必有一点 $x_0\in[a,b]$, 使得 $f(x_0)=g(x_0)$.

黎曼函数或称 Thomae 函数是指下面定义的函数:

\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{q}, & \text{若}\ x\ \text{是有理数, 且等于既约分数}\ \frac{p}{q},\ \text{其中}\ q>0,\\
0, & \text{若}\ x\ \text{是无理数}.
\end{cases}
\]

注意到对任意整数 $n$, 有 $f(n)=1$.

证明黎曼函数处处不可微.

References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function

http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX704/gksx704029.caj.pdf

(1) 证明: 当 $x,y\in[0,1]$ 时,

\[
\max\{xy,\ x+y-2xy,\ 1-x-y+xy\}\geqslant\frac{4}{9}.
\]

(2) 证明:  当 $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$ 时,

\[
1+x+y+xy\leqslant (x+1)\ln(x+1)+e^y.
\]

【Hint】

第(2)题不宜令 $F(x,y)=(x+1)\ln(x+1)+e^y-(1+x)(1+y)$.

而应考虑函数 $f(x)=(x+1)\ln(x+1)-xy-x$

函数 $\psi(t)=(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}{n})^{1/t}$ 的单调性.

半连续这个名字通常会让人误解, 原因在于我们对左连续、右连续是熟知的, 而它们比较形象化.

事实上左连续、右连续中的左、右的确分别对应于 $x\rightarrow x_0^-$ 和 $x\rightarrow x_0^+$

而半连续往往会让人比较费解, 即使当时弄明白了, 时间一长可能又忘了.

事实上, 这个“半”字并不用于描述自变量行为的, 而是描述应变量的, 也就是用来刻画连续在最直观几何下的状态的. 由下面的定义, 也就大致明白为何有上半连续和下半连续这两个概念了.

半连续(semi-continuity)

定义 1. 设 $(X,d)$ 是一个度量空间. 考虑函数 $f:X\rightarrow\mathbb{R}$, 并设 $x\in X$.

1.  称 $f$ 在 $x$ 点处是上半连续的（upper semi-continuous）, 当且仅当对 $X$ 中每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_t\}$, 都有 $\limsup_{t}f(x_t)\leq f(x)$. 如果 $f$ 在每一点 $x\in X$ 处是上半连续的, 则称 $f$ 在 $X$ 上是上半连续的.

2.  称 $f$ 在 $x$ 点处是下半连续的（lower semi-continuous）, 当且仅当对 $X$ 中每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_t\}$, 都有 $\liminf_{t}f(x_t)\geq f(x)$. 如果 $f$ 在每一点 $x\in X$ 处是下半连续的, 则称 $f$ 在 $X$ 上是下半连续的.

最简单的例子,

• 开集 $V$ 上的特征函数 $\chi_{_V}$ 是下半连续的.
• 闭集 $K$ 上的特征函数 $\chi_{_K}$ 是上半连续的.

Prop. 设每个 $f_n$ 都是上半连续的, $n=1,2,3,\ldots$, 则 $\sum_{n=1}^{N}f_n$ 是上半连续的, 但 $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ 不一定是上半连续的(请举出反例).

关于上极限($\limsup$)和下极限($\liminf$)的概念, 参见问题2727 .