Questions in category: 凸函数 (convex function)
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1. 设 $a < b < c < d$, 函数 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 及 $[b,d]$ 上是凸函数, 证明 $f$ 在 $[a,d]$ 上也是凸的.

Posted by haifeng on 2020-11-10 08:02:30 last update 2020-11-10 08:04:17 | Answers (1) | 收藏


设 $a < b < c < d$, 函数 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 及 $[b,d]$ 上是凸函数, 证明 $f$ 在 $[a,d]$ 上也是凸的.

2. 开区间上的凸函数一定连续

Posted by haifeng on 2016-10-07 10:19:25 last update 2020-11-10 08:04:38 | Answers (0) | 收藏


设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点处的左右极限都存在, 且对任意的 $x,y\in(a,b)$ 有

\[
f(\frac{x+y}{2})\leqslant\frac{f(x)+f(y)}{2},
\]

求证: $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续.

3. 一个重要的凸函数

Posted by haifeng on 2014-08-04 21:25:08 last update 2020-11-10 08:05:06 | Answers (0) | 收藏


假设 $\phi(x,t)$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的凸函数, 这里 $x\in\mathbb{R}^n$, $t\in\mathbb{R}$. 则函数

\[
f(t):=-\log\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\phi(x,t)}dx
\]

也是凸函数.


注:

这个命题可以推出 Brunn-Minkowski 不等式, 后者可推出等周不等式(Isoperimetric inequality). 由此可导出丁泛函在测地线上的凸性.

4. 证明下列函数是凸函数

Posted by haifeng on 2014-08-04 20:06:00 last update 2020-11-10 08:05:21 | Answers (1) | 收藏


(1) 向量空间中的 $p$-范数 ($p\geqslant 1$), 及 $\|\cdot\|_{\infty}$ 范数.

这里

\[
\|x\|_p=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}},\qquad\|x\|_{\infty}=\max_{k}|x_k|.
\]


[提示]

首先证明有三角不等式 $\|x+y\|_p\leqslant\|x\|_p+\|y\|_p$.


更一般的, 参考 $L^p$ 和弱 $L^p$Brunn-Minkowski 不等式