证明三倍角公式:

\[
\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta.
\]

求 $\sin(\frac{k}{5}\pi)$ 的值, 这里 $k\in\mathbb{Z}$.

利用三倍角公式, 可以求出

\[
\cos(36^{\circ})=\cos(\frac{1}{5}\pi)=\frac{1+\sqrt{5}}{4},
\]

\[
\sin(36^{\circ})=\sin(\frac{1}{5}\pi)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}.
\]

从而

\[
\sin(72^{\circ})=\sin(\frac{2}{5}\pi)=2\sin(\frac{1}{5}\pi)\cos(\frac{1}{5}\pi)=2\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}.
\]

$\sin(108^{\circ})=\sin(\frac{3}{5}\pi)=\sin(\pi-\frac{3}{5}\pi)=\sin(\frac{2}{5}\pi)$. 当然, 也可以利用三倍角公式计算:

\[
\cos(72^{\circ})=\cos(\frac{2\pi}{5})=2\cos^2(\frac{\pi}{5})-1=2\cdot\Bigl(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\Bigr)^2-1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.
\]

证明：任意一个定义在A上的Lipschitz函数都可以通过其一致连续性扩展到A的闭包上的一个Lipschitz函数

设函数 $f(x)$ 满足下面的关系,

\[
f(f(x))=\begin{cases}
(x-1)^2, & x\geqslant 1,\\
f(x), & x < 1.
\end{cases}
\]

求 $f(1)$.

问题来自:

f(f(x))=(x-1)^2(x≧1时),f(x)(x<1时)、求f(1) - 基础数学 - 数学中国 - Powered by Discuz! (mathchina.com)

Теорема Лузина-Данжуа

Luzina-Danjoy theorem

Теорема Лузина-Данжуа — Викиконспекты (ifmo.ru)

证明 $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$.

至少有两种证法.

在银行贷款有两种还款方式：【等额本息】和【等额本金】

引入以下记号：

$A$: 贷款本金

$x$: 每月还款金额（简称【每月本息】）

$R$: 年利率

$r$: 月利率（为年利率的$1/12$, 即 $R=12r$.）

$N$: 还款月数

于是等额本息的每月还贷金额计算公式为

\[
x=A\times\frac{r(1+r)^N}{(1+r)^N-1}
\]

下面我们来推导这个公式.

假设 $Q_1$ 为还掉第一期贷款（即第一个月的本息）后所欠金额总数。

$Q_i$ 为第 $i$ 期还款后的欠款总金额。$n$ 为当前还款的期数. $n=1,2,\ldots,N$.

则，$n=1$, （指还完第一期贷款）

\[
Q_1=A(1+r)-x
\]

$n=2$, （指还完第二期贷款）

\[
\begin{split}
Q_2&=Q_1(1+r)-x\\
&=[A(1+r)-x](1+r)-x\\
&=A(1+r)^2-[1+(1+r)]x
\end{split}
\]

$n=3$, （指还完第三期贷款）

\[
\begin{split}
Q_3&=Q_2(1+r)-x\\
&=\bigl[A(1+r)^2-[1+(1+r)]x\bigr](1+r)-x\\
&=A(1+r)^3-[1+(1+r)+(1+r)^2]x
\end{split}
\]

归纳假设

$n=k$, （指还完第 $k$ 期贷款）

\[
Q_k=A(1+r)^k-[1+(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^{k-1}]x\tag{*},
\]

则当 $n=k+1$, （指还完第 $k+1$ 期贷款）

\[
\begin{split}
Q_{k+1}&=Q_k(1+r)-x\\
&=\bigl[A(1+r)^k-[1+(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^{k-1}]x\bigr](1+r)-x\\
&=A(1+r)^{k+1}-[(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^k]x-x\\
&=A(1+r)^{k+1}-[1+(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^k]x.\\
\end{split}
\]

因此 (*) 对任何 $k=1,2,\ldots,N$ 都成立. 进一步可以化简

\[
\begin{split}
Q_k&=A(1+r)^k-[1+(1+r)+(1+r)^2+\cdots+(1+r)^{k-1}]x\\
&=A(1+r)^k-\frac{1-(1+r)^k}{1-(1+r)}\cdot x\\
&=A(1+r)^k-\frac{(1+r)^k-1}{r}\cdot x
\end{split}
\]

当 $k=N$ 时, $Q_N=0$. 于是有

\[
A(1+r)^N=x\cdot\frac{(1+r)^N-1}{r}
\]

这推出

\[
x=\frac{Ar(1+r)^N}{(1+r)^N-1}.
\]

Jan 1, 2000 A.D. 对应的 Julian Day Number 是 2451545.