想象一下, 当 $n=2$ 时, 就是要证明一个圆柱体可以收缩到由其底面和侧面构成的一个杯子. 其过程可以这样来想象, 一个没有柄也没有盖子的杯子, 装满了油, 当油被吸管抽走, 则原来的三维体就慢慢形变成空空的杯子了. (这里我们假定油会附着在杯子内侧.)

当然还有其他的办法来实现这一同伦过程. 比如杯子中装有一种特殊物质, 它对某种光线非常敏感, 随着这种光线的持续照射, 会沿着光照的方向匀速消失, 直到杯子内表面. 现在将这个光源放在盛满该种物质的杯子的正上方, 经过一定时间的照射, 原来的三维体就慢慢变成空杯子了.

为了方便数学描述, 将上面的模型抽象为中心投影.

在 $\mathbb{E}^{n+1}$ 中取点 $A=(0,\ldots,0,2)$, $B^n\times I$ 中的点 $(u,t)$ 被 $A$ 射出的“光”照射到 $B^n\times\{0\}$ 或 $\partial B^n\times I$ 上.

由点 $(\mathbf{0},2)$ 与 $(u,t)$ 确定的直线方程是,

\[\frac{y-2}{\mathbf{x}-\mathbf{0}}=\frac{2-t}{\mathbf{0}-u},\]

解得, $y=2-\frac{2-t}{u}\mathbf{x}$, 令 $\mathbf{x}=\frac{u}{\|u\|}$, 则 $y=2-\frac{2-t}{\|u\|}$.

由 $A$ 与 $\partial B^n$ 构成的锥面方程为,

\[\|u\|=1-\frac{1}{2}t.\]

若令 $r:\ B^n\times I\rightarrow B^n\times\{0\}\cup S^{n-1}\times I$,

\[
r(u,t)=
\begin{cases}
(\frac{u}{\|u\|}, 2-\frac{2-t}{\|u\|}), & \|u\|\geqslant 1-\frac{t}{2},\\
(\frac{2u}{2-t},0), & \|u\|\leqslant 1-\frac{t}{2}.
\end{cases}
\]

如果将这里的 $t$ 看作时间的话, 则在锥面 $\|u\|=1-\frac{1}{2}t$ 内部的同一高度的点可以被认为是同时到达底部的.

Remark:

这个引理不仅对 $B^n$ 成立, 对于 $n$ 维单形也是成立的. 若 $\sigma^n$ 是 $n$ 维单形, 则有

Lem. $\sigma^n\times\{0\}\cup\partial\sigma^n\times I$ 是 $\sigma^n\times I$ 的收缩核. (这里 $n\geqslant 1$.)

References:

廖山涛, 刘旺金 著, 《同伦论基础》, 北京大学出版社. 1980