这里考虑三维欧氏空间中的正则曲线 $c: I\rightarrow\mathbb{R}^3$, 弧长微元 $ds$ 有下面这几种表示.

\[ds^2=|dc|^2=dx^2+dy^2+dz^2.\]

若使用柱坐标系,

\[x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta,\quad z=z\]

则

\[ds^2=d\rho^2+\rho^2d\theta^2+dz^2;\]

若采用球坐标系

\[
\begin{cases}
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\
z=\rho\cos\varphi.
\end{cases}
\]

则

\[ds^2=d\rho^2+\rho^2d\varphi^2+\rho^2\sin^2\varphi d\theta^2.\]