当 $p>1$ 时，将原级数依下列形式添加括号\[ 1+(\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p})+(\frac{1}{4^p}+\frac{1}{5^p}+\frac{1}{6^p}+\frac{1}{7^p})+(\frac{1}{8^p}+\cdots+\frac{1}{15^p})+\cdots,\] 新级数的通项\[U_n=\frac{1}{(2^{n-1})^p}+\frac{1}{(2^{n-1}+1)^p}+\cdots+\frac{1}{(2^n-1)^p}\leqslant\frac{2^{n-1}}{(2^{n-1})^p}=\frac{1}{(2^{n-1})^{p-1}},\] 而级数\[ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2^{n-1})^{p-1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2^{p-1})^{n-1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{1}{2^{p-1}})^{n-1} \] 是几何级数, 收敛, 理由是 $\frac{1}{2^{p-1}}\in(0,1)$. 从而从级数收敛的定义(即前 $n$ 项和有极限), 知 $p$-级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p}$ 收敛.

Remark:

(1) 实际上有下面的定理:

设 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ 收敛, 如将级数的项任意归组而不改变其先后次序, 则新级数(即加括号后的级数)也收敛, 且与原级数有相同的和.【逆命题不成立】
如果上面加括号的级数中同一括号中的项都有相同的符号, 则上述逆命题成立.

(2) $p$-级数敛散性的判定一般是用下面的引理来证.

Lemma:若 $f(x)$ 是定义在 $[1,+\infty)$ 上的递减正函数, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)$ 与广义积分 $\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$ 的敛散性相同.

从而很快得出结论.