首页

欢迎

 

Welcome

欢迎来到这里, 这是一个学习数学、讨论数学的网站.

转到问题

请输入问题号, 例如: 2512

IMAGINE, THINK, and DO
How to be a scientist, mathematician and an engineer, all in one?
--- S. Muthu Muthukrishnan

Local Notes

Local Notes 是一款 Windows 下的笔记系统.

Local Notes 下载

Sowya

Sowya 是一款运行于 Windows 下的计算软件.

详情

下载 Sowya.7z (包含最新版的 Sowya.exe and SowyaApp.exe)


注: 自 v0.550 开始, Calculator 更名为 Sowya. [Sowya] 是吴语中数学的发音, 可在 cn.bing.com/translator 中输入 Sowya, 聆听其英语发音或法语发音.





注册

欢迎注册, 您的参与将会促进数学交流. 注册

在注册之前, 或许您想先试用一下. 测试帐号: usertest 密码: usertest. 请不要更改密码.


我制作的 slides

Problem

随机显示问题

Problèmes d'affichage aléatoires

几何 >> 黎曼几何 >> PeterPetersen
Questions in category: PeterPetersen (PeterPetersen).

Section 3.4 极坐标 V.S. 笛卡尔坐标

Posted by haifeng on 2013-01-22 14:25:01 last update 2013-01-22 14:27:22 | Answers (0)


极坐标 V.S. 笛卡尔坐标

在旋转对称度量的例子中, 我们尚未讨论 $\varphi(t)=0$ 时的情形. 在旋转曲面的情形, 显然母线在 $r=0$ 时需有垂直于旋转轴的切向量才可使得度量是光滑的. 确切地, 设度量为 $dt^2+\varphi^2(t)d\theta^2$,
\[
\varphi:\ [0,b)\rightarrow [0,+\infty),\quad \varphi(0)=0,\ \mbox{且}\ \varphi(t)>0,\ \forall\,t>0.
\]
所有其他情形可被变换到这种情形. 我们假设 $\varphi$ 是光滑的, 故当 $t>0$ 时, 我们可以将它改写为 $\varphi(t)=t\psi(t)$, 其中 $\psi(t)$ 是某个光滑函数, $\psi(t)>0$. 现在在 $t=0$ 附近引进笛卡尔坐标
\[
\begin{cases}
x=t\cos\theta\\
y=t\sin\theta
\end{cases}
\]
于是 $t^2=x^2+y^2$, 且
\[
\begin{cases}
dx=\cos\theta dt-t\sin\theta d\theta\\
dy=\sin\theta dt+t\cos\theta d\theta\\
\end{cases}
\]
这推出
\[
\begin{pmatrix}
dx\\
dy
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -t\sin\theta\\
\sin\theta & t\cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dt\\
d\theta
\end{pmatrix}
\]
由于
\[
\det
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -t\sin\theta\\
\sin\theta & t\cos\theta
\end{pmatrix}
=t\cos^2\theta+t\sin^2\theta=t>0
\]

\[
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -t\sin\theta\\
\sin\theta & t\cos\theta
\end{pmatrix}^{-1}=
\frac{1}{t}
\begin{pmatrix}
t\cos\theta & t\sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\\
-\frac{\sin\theta}{t} & \frac{\cos\theta}{t}
\end{pmatrix}
\]

\[
\begin{pmatrix}
dt\\
d\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{x}{t} & \frac{y}{t}\\
-\frac{y}{t^2} & \frac{x}{t^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx\\
dy
\end{pmatrix}
\]
于是,
\[
\begin{split}
&dt^2+\varphi^2(t)d\theta^2\\
=&dt^2+t^2\psi^2(t)d\theta^2\\
=&\bigl(\frac{1}{t}(xdx+ydy)\bigr)^2+t^2\psi^2(t)(-\frac{y}{t^2}dx+\frac{x}{t^2}dy)^2\\
=&\frac{1}{t^2}(xdx+ydy)^2+t^2\psi^2(t)\cdot\frac{1}{t^4}(-ydx+xdy)^2\\
=&\frac{1}{t^2}(x^2dx^2+xydxdy+yxdydx+y^2dy^2)+\frac{1}{t^2}\psi^2(t)(y^2dx^2-xydxdy-xydydx+x^2dy^2)\\
=&\frac{1}{t^2}\Bigl[(x^2+\psi^2(t)y^2)dx^2+(xy-xy\psi^2(t))dxdy+(yx-yx\psi^2(t))dydx+(y^2+\psi^2(t)x^2)dy^2\Bigr]
\end{split}
\]
因此
\[
\begin{aligned}
g_{xx}&=\frac{x^2+\psi^2(t)y^2}{x^2+y^2}=1+\frac{\psi^2(t)-1}{t^2}y^2,\\
g_{xy}&=g_{yx}=\frac{1-\psi^2(t)}{t^2}\cdot xy,\\
g_{yy}&=\frac{\psi^2(t)x^2+y^2}{x^2+y^2}=1+\frac{\psi^2(t)-1}{t^2}\cdot x^2.
\end{aligned}
\]
并且
\[
\det
\begin{pmatrix}
g_{xx}& g_{xy}\\
g_{yx}& g_{yy}\\
\end{pmatrix}
=\psi^2(t).
\]
我们需要检查函数 $g_{ij}$ 在 $(x,y)=(0,0)$ (即 $t=0$) 处的光滑性. 为此我们仅需检查函数
\[
h(t):=\frac{\psi^2(t)-1}{t^2}
\]
在 $t=0$ 处的光滑性.

首先 $\psi(t)$ 应满足 $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\psi^2(t)=1$, 从而 $\psi(0)=1$. 这实际上是母线之切向量垂直于旋转轴的条件.

其次, 若 $\psi(t)$ 在 $t=0$ 处展开成幂级数, 则我们看到应进一步满足
\[
\dot{\psi}(0)=\psi^{(3)}(0)=\psi^{(5)}(0)=\cdots=0.
\]

证明. 设 $\psi(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\psi^{(n)}(0)}{n!}t^n$, 由于 $\psi(0)=1$, 故可设
$\psi(t)=1+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3+\cdots$, 其中 $a_i=\frac{\psi^{(i)}(0)}{i!}$, 且设 $a_0=1$.
从而
\[
\psi^2(t)-1=(1+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3+\cdots)^2-1=\sum_{n=1}^{+\infty}(\sum_{i=0}^{n}a_i a_{n-i})t^n.
\]
从而
\[
h(t)=\frac{\psi^2(t)-1}{t^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}(\sum_{i=0}^{n}a_i a_{n-i})t^{n-2}.
\]
由于函数 $h(t)$ 在 $t=0$ 处有定义, 故推出 $\sum_{i=0}^{1}a_i a_{1-i}=0$, 即 $a_1=0$, 故而 $\dot{\psi}(0)=0$.

下面证明 $\psi^{3}(0)=0$. 现在 $\psi(t)=1+a_2 t^2+a_3 t^3+a_4 t^4+\cdots$. 根据 $h(t)$ 在 $t=0$ 处的连续性我们可得到 $h(0)=2a_2$. 事实上,
\[
\begin{split}
h(0)&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\psi^2(t)-1}{t^2}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{2\psi(t)\dot{\psi}(t)}{2t}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\psi(t)\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\dot{\psi(t)}}{t}\\
&=\psi(0)\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\psi^{(2)}(t)}{1}\\
&=\ddot{\psi}(0)\\
&=2a_2.
\end{split}
\]
我们计算 $\dot{h}(0)$,
\[
\begin{split}
\dot{h}(0)&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{h(t)-h(0)}{t-0}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{\psi^2(t)-1}{t^2}-2a_2}{t}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\psi^2(t)-1-2a_2 t^2}{t^3}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sum_{n=1}^{+\infty}(\sum_{i=0}^{n}a_i a_{n-i})t^n-2a_2 t^2}{t^3}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sum_{n=3}^{+\infty}(\sum_{i=0}^{n}a_i a_{n-i})t^n}{t^3}\\
&=2a_3
\end{split}
\]
因此 $a_3=0$, 从而 $\psi^{(3)}(0)=0$. 现在 $\psi(t)$ 形如
\[
\psi(t)=1+a_2 t^2+a_4 t^4+a_5 t^5+a_6 t^6+a_7 t^7+\cdots,
\]
而 $h(t)$ 形如
\[
h(t)=\sum_{n=2}^{+\infty}(\sum_{i=0}^{n}a_i a_{n-i})t^{n-2}.
\]
现在通过计算 $\ddot{h}(0)$ 可推出 $a_4=-\frac{a_2^2}{2}$.
\[
\begin{split}
0=\ddot{h}(0)&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\dot{h}(t)-\dot{h}(0)}{t-0}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\dot{h}(t)}{t}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\sum_{n=2}^{+\infty}(\sum_{i=0}^{n}a_i a_{n-i})(n-2)t^{n-4}.
\end{split}
\]
从而可推出 $a_4=-\frac{a_2^2}{2}$. 此时 $h(t)$ 形如
\[
h(t)=\sum_{n=5}^{+\infty}(\sum_{i=0}^{n}a_i a_{n-i})t^{n-2}.
\]

通过计算 $\dddot{h}(0)$ 可推出 $a_5=0$, 即有 $\psi^{(5)}(0)=0$.
\[
\begin{split}
0=\dddot{h}(0)&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\ddot{h}(t)-\ddot{h}(0)}{t-0}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\ddot{h}(t)}{t}\\
&=\lim_{t\rightarrow 0}\sum_{n=5}^{+\infty}(\sum_{i=0}^{n}a_i a_{n-i})(n-2)(n-3)t^{n-5}.
\end{split}
\]
从而可推出 $a_5=0$.

反复应用此过程, 可以应用归纳法证明 $\psi^{\text{odd}}(0)=0$. Q.E.D


当 $\psi$ 仅是光滑时, 这些条件就可满足. 如果将条件返回到 $\varphi$, 则我们得到, 度量 $dt^2+\varphi^2(t)d\theta^2$ 在 $t=0$ 处是光滑的, 如果 $\varphi$ 满足 $\varphi^{(\text{even})}(0)=0$, 且 $\dot{\varphi}(0)=1$.

对于度量 $dt^2+\text{sn}_k^2(t)d\theta^2$ 来说, 这些条件它均满足. 这里当 $k\leqslant 0$ 时 $t\in [0,+\infty)$; 当 $k>0$ 时, $t\in [0,\frac{\pi}{\sqrt{k}}]$. 注意到此时 $\text{sn}_k(t)$ 是实解析的.