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几何 >> 微分几何 >> 曲线曲面论
Questions in category: 曲线曲面论 (Curve and surface theory).

三维欧氏空间中曲线为平面曲线当且仅当 $\tau\equiv 0$.

Posted by haifeng on 2012-03-12 16:49:28 last update 2012-07-26 09:23:36 | Answers (1)


证明: 设 $c:I\rightarrow\mathbb{R}^3$ 是三维欧氏空间中的一条正则曲线, 即 $\dot{c}(t)$ 处处非零.

假设其位于某个平面 $\pi$ 内, 若 $e_1(t)=\dot{c}(t)/|\dot{c}(t)|$ 是其单位切向量场, 则 $\dot{e}_1(t)\in\pi$, 从而 $\dot{e}_2(t)$ 也位于平面 $\pi$ 内. 事实上, 根据典型 Frenet 标架的构造(利用 Gram-Schmidt 正交化), 有

\[\tilde{e}_2(t)=-(\ddot{c}(t)\cdot e_1(t))e_1(t)+\ddot{c}(t)\]

而 $\ddot{c}(t)\in\pi$, 因此 $e_2(t)=\tilde{e}_2(t)/|\tilde{e}_2(t)|$ 也位于平面 $\pi$ 内, 且 $e_1(t)\perp e_2(t)$, 从而 $e_3(t)$ 平行于平面 $\pi$ 的法向量. 于是由挠率的定义

\[\tau(t):=\frac{\dot{e}_2(t)\cdot e_3(t)}{|\dot{c}(t)|}\equiv 0.\]

反之, 若挠率(第二曲率)处处为零, 则由于曲线在经过 $\mathbb{R}^3$ 的等距变换后, 曲线的各曲率保持不变, 即, $\omega$ 矩阵保持不变, 因此可以断言此时曲线必为平面曲线. 因为平面曲线的 $\omega$ 矩阵是 $2\times 2$ 的, 没有第二曲率, 可以自然扩充为 $3\times 3$ 的 $\omega$ 矩阵. (或者也可以通过取定某个平面, 证明此平面即为包含该曲线的平面, 见答案)