| 1 |
级数
| 判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n\ln n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性. | 2025-12-31 |
| 2 |
级数
| 判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{n!}$ 的敛散性. | 2025-12-31 |
| 3 |
导数及微分
| 达布定理(Darboux Theorem) | 2025-12-30 |
| 4 |
导数及微分
| 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的有界函数, 并且处处二阶可导, 证明: 存在一点 $\xi\in\mathbb{R}$, 使得 $f''(\xi)=0$. | 2025-12-30 |
| 5 |
Taylor 展开
| 求 $\tan x$ 的 Taylor 展开式. | 2025-12-29 |
| 6 |
Taylor 展开
| Bernstein 定理 | 2025-12-29 |
| 7 |
级数
| Abel 判别法 | 2025-12-26 |
| 8 |
级数
| 判断函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{x^2+n^2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的一致收敛性. | 2025-12-24 |
| 9 |
级数
| 证明 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin(nx)$ 的部分和一致有界. | 2025-12-24 |
| 10 |
级数
| 判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos n$ 的敛散性. | 2025-12-24 |
| 11 |
级数
| Dini 定理 | 2025-12-24 |
| 12 |
级数
| 判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+n^2}}$ 的敛散性. | 2025-12-19 |
| 13 |
级数
| 判断级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n}$ 的敛散性. | 2025-12-19 |
| 14 |
级数
| 判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)}$ 的敛散性. | 2025-12-17 |
| 15 |
极限
| 求极限 $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{1}{h^2}\int_0^h \Bigl(\frac{1}{\theta}-\cot\theta\Bigr)\mathrm{d}\theta$. | 2025-12-17 |
| 16 |
定积分
| 求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^2}\mathrm{d}t}{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{2t^2}\mathrm{d}t}$. | 2025-12-09 |
| 17 |
定积分
| 利用积分求下列极限. | 2025-12-09 |
| 18 |
定积分
| 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上定义的函数. 如果 $f^2(x)$ 可积, 则 $|f(x)|$ 也可积. | 2025-12-05 |
| 19 |
定积分
| 如果 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则 $\max\{f,g\}$ 和 $\min\{f,g\}$ 在 $[a,b]$ 上均可积. | 2025-12-05 |
| 20 |
不定积分
| 设 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数, $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数. 则 $F(x)$ 以 $T$ 为周期当且仅当 $F(T)=F(0)$. | 2025-12-04 |
| 21 |
不定积分
| 求不定积分 $\displaystyle\int\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}\mathrm{d}x$. | 2025-12-04 |
| 22 |
不等式
| 对任意实数 $x,y$, 证明 $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leqslant\sqrt{|x-y|}$. | 2025-12-03 |
| 23 |
数学分析
| 证明: $\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是一致连续的. | 2025-12-03 |
| 24 |
重积分
| 设 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 2\leqslant\frac{x^2}{x^5+y^2}\leqslant 5,\ 4\leqslant\frac{y}{x^5+y^2}\leqslant 7\}$, 求二重积分 $\displaystyle\iint_{D}\frac{1}{x^3 y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. | 2025-11-29 |
| 25 |
微分中值定理
| 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可微, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(f(x)+f'(x))=\ell$, 证明: $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell$. | 2025-11-17 |
| 26 |
C++
| error C2011: “sockaddr”:“struct”类型重定义 | 2025-11-09 |
| 27 |
微分中值定理
| 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 且 $f(a)=f(b)=0$, $f'_{+}(a)f'_{-}(b)>0$. 证明: 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f''(\xi)=0$. | 2025-11-07 |
| 28 |
矩阵
| 设 $n$ 是正整数, $A,B$ 是 $n$ 阶复矩阵, 满足 $AB+A=BA+B$. 求证: $(A-B)^n=0$. | 2025-10-25 |
| 29 |
矩阵
| (1) 设 $A$ 为实对称矩阵, $\lambda=\min_{|v|=1, v\in\mathbb{R}^n}\langle Av,v\rangle$. 求证: $\lambda$ 是 $A$ 的最小特征值.
(2) 设 $C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T\mid x_i\geqslant 0, i=1,2,\ldots,n\}$. 求证: 对任意一个 $n$ 元列向量 $u$, 存在 $v,w\in C$, 满足 $\langle v,w\rangle=0$, $u=v-w$.
(3) 设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是实对称矩阵, 满足对任意 $1\leqslant i,j\leqslant n$, $i\neq j$, 有 $a_{ij} < 0$, 且对任意的非零向量 $v\in C$, $-Av\not\in C$. 求证: $A$ 是正定矩阵. | 2025-10-25 |
| 30 |
线性变换
| 对于 $v=(v_1,v_2,\ldots,v_n)$, $w=(w_1,w_2,\ldots,w_n)\in\mathbb{Q}^n$, 定义内积 $\langle v,w\rangle=v_1 w_1+v_2 w_2+\cdots+v_n w_n$. 称 $\sigma$ 是正交变换, 如果对任意 $v,w$, 均有 $\langle\sigma(v),\sigma(w)\rangle=\langle v,w\rangle$. 求证: 对任意正交变换 $\sigma$, 存在正交变换 $\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_k$, 使得 $\sigma=\tau_1 \tau_2 \cdots \tau_k$, 其中 $\{v\in V\mid\tau_i(v)=v\}$ 的维数为 $n-1$. | 2025-10-25 |
| 31 |
极限
| 求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}$, 这里 $p > 0$. | 2025-10-25 |
| 32 |
线性代数
| 设正整数 $m,n\geqslant 2$, $a,b$ 是实数. 设 $A=\begin{bmatrix}J & \\ & K\end{bmatrix}$ 是 $m+n$ 阶实方阵, 其中 $J$ 为 $m$ 阶方阵, $K$ 为 $n$ 阶方阵:
\[
J=\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & a & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a\\
\end{bmatrix},\quad K=\begin{bmatrix}
b & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & b & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & b & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & b & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & b\\
\end{bmatrix}.
\]
求线性空间 $\{X\in M_{m+n}(\mathbb{R})\mid AX=XA\}$ 的维数. | 2025-10-25 |
| 33 |
线性代数
| 谢启鸿高等代数官方博客 | 2025-10-25 |
| 34 |
线性变换
| 设正整数 $n\geqslant 2$, $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是实数. 设 $n$ 阶实方阵
\[
A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_1\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_2\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & a_3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1}\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a_n\\
\end{bmatrix}\ .
\]
对线性空间 $V=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid X^T=X\}$, 定义线性变换 $F:\ V\rightarrow V$, $F(X)=AXA^T$. 求 $\mathrm{tr}(F)$ 和 $\det(F)$. | 2025-10-25 |
| 35 |
线性变换
| 记 $M_2$ 是全体 $2\times 2$ 的实矩阵构成的集合. 设 $A\in M_2$ 为可逆矩阵且 $\mathrm{tr}(A)\neq 0$. 定义线性映射 $T:\ M_2\rightarrow M_2$ 为 $T(X)=AX+XA$. 问: 是否对任意 $B\in M_2$, 都存在惟一的 $X\in M_2$, 使得 $T(X)=B$? | 2025-10-25 |
| 36 |
线性代数
| 设 $A$ 是 $n$ 阶实的对角阵, 其对角线由 $p$ 个 $1$, $q$ 个 $-1$ 和 $r$ 个 $0$ 组成, 其中 $p+q+r=n$. $M$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的线性子空间, 满足对任意 $x\in M$, 均有 $x^T Ax=0$, 求 $\dim M$ 的最大值. | 2025-10-25 |
| 37 |
线性变换
| 记 $V=\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R})\mid f(x+1)=2f(x)\}$, 定义 $L:\ V\rightarrow V$ 为 $L(f)=f'+kf$. 求使得 $L$ 为双射的所有实数 $k$. | 2025-10-25 |
| 38 |
矩阵
| 设 $A$ 是一个 $2021\times 2021$ 的矩阵, 其主对角线上的元素均为 $0$, 且每行恰有 $1010$ 个 $1$ 和 $1010$ 个 $-1$, 求 $\mathrm{rank}(A)$ 的所有可能值. | 2025-10-25 |
| 39 |
线性变换
| 设 $m,n,k$ 是正整数, 定义线性映射 $L:\ M_{m\times n}\rightarrow M_{k\times n}$. 记 $W=\{L\mid L(AB)=L(A)B,\ \forall A\in M_{m\times n}, B\in M_{n\times n}\}$, 求 $\dim W$. | 2025-10-25 |
| 40 |
线性变换
| 设正整数 $n\geqslant 2$, $S_n$ 为 $n$ 阶置换群. 考虑线性空间 $V=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\mid x_1+x_2+\cdots+x_n=0\}$. 对 $\tau\in S_n$, 定义线性变换 $\rho_\tau:\ V\rightarrow V$,
$(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mapsto(x_{\tau(1)},x_{\tau(2)},\ldots,x_{\tau(n)}).$ 记 $\chi(\tau)=\mathrm{tr}(\rho_\tau)$.
(1) 对 $\tau\in S_n$, 求 $\chi(\tau)$ 的所有可能值; (2) 求 $\sum_{\tau\in S_n}\chi(\tau)^2$ 的值. | 2025-10-25 |
| 41 |
线性代数
| 设 $M_2$ 是全体2x2复矩阵构成的集合, 映射 $f:M_2\rightarrow M_2$ 满足 $f(A)=2A^3-9A^2+12A-2I$, 其中 $I$ 是 2 阶单位矩阵, 问: $f$ 是否为满射? | 2025-10-25 |
| 42 |
Bug
| [BUG|Date:20251023] solve(x!==x^3-x,x,1,100) | 2025-10-23 |
| 43 |
矩阵
| 定理. Hermite 矩阵与实对称矩阵的特征值都是实数. | 2025-10-22 |
| 44 |
数学分析
| 设贷款本金为 $A$, 月利率是 $x$, 贷款期限是 $n$ 个月, 若选择等额本息, 求每月还款利息. | 2025-10-15 |
| 45 |
极限
| 求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}$, 这里 $\alpha$ 是实数. | 2025-10-15 |
| 46 |
Bug
| [BUG:20251014-2] | 2025-10-14 |
| 47 |
行列式
| 计算行列式 | 2025-10-14 |
| 48 |
Bug
| [BUG:20251014-1] | 2025-10-14 |
| 49 |
行列式
| 求下面的行列式. | 2025-10-12 |
| 50 |
Windows 10
| Windows 中直接打开环境变量的编辑窗口 | 2025-10-12 |
