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代数 >> 线性代数 >> 矩阵
Questions in category: 矩阵 (Matrix).

1

求下面矩阵的秩(rank)

Posted by haifeng on 2018-06-01 21:38:19 last update 2018-06-01 21:39:34 | Answers (1) | 收藏

求下面矩阵 $A_n$ 的秩(rank)

\[
A_n=\begin{pmatrix}
1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
-\frac{1}{n} & 1-\frac{1}{n}  & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
\vdots &  & \ddots & \vdots & \vdots \\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}  & \cdots & 1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}\\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}  & \cdots & -\frac{1}{n} &1-\frac{1}{n} \\
\end{pmatrix}_{n\times n}
\]
 

2

设矩阵 $A=C^T C$, $B=D^T D$, 这里 $C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵. 证明:

Posted by haifeng on 2017-12-02 21:16:07 last update 2017-12-02 21:34:12 | Answers (1) | 收藏

设矩阵 $A=C^T C$, $B=D^T D$, 这里 $C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵.

证明:

(1) 矩阵 $A$ 和 $B$ 都是半正定矩阵.

(2) 当 $\lambda,\mu$ 都大于零时, 存在实矩阵 $P$, 使得 $\lambda A+\mu B=P^T P$.

 


Remark:

矩阵正定和半正定的定义和性质参见问题910.

3

设 $A\in\mathcal{M}(2,\mathbb{R})$, 且 $\mathrm{tr}(A)=0$, 求 $A^2, A^3,\ldots, A^n$.

Posted by haifeng on 2017-06-22 10:15:23 last update 2017-06-22 10:34:01 | Answers (1) | 收藏

设 $A\in\mathcal{M}(2,\mathbb{R})$, 即 $2$ 阶实方阵, 且 $\mathrm{tr}(A)=0$, 求 $A^2, A^3,\ldots, A^n$.

 

求 $e^A=\exp(A):=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A^n}{n!}$

4

正互反矩阵

Posted by haifeng on 2017-05-04 11:31:50 last update 2017-05-04 11:36:06 | Answers (0) | 收藏

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足

\[
a_{ij} > 0,\quad a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}},\quad\forall i,j=1,2,\ldots,n.
\]

则称 $A$ 是一个正互反矩阵.


设 $\lambda$ 是 $n$ 阶正互反矩阵 $A$ 的最大特征值, 证明:

(1) $\lambda\geqslant n$.

(2) 当 $\lambda=n$ 时, $A$ 是一致矩阵.  (当然, 当 $n=1,2$ 时, $A$ 显然是一致矩阵.)

(3) $A$ 的 $n$ 个特征值之和等于 $n$.

5

一致矩阵

Posted by haifeng on 2017-05-04 10:56:45 last update 2017-05-04 10:58:14 | Answers (1) | 收藏

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是 $n$ 阶方阵, 其中 $a_{ij}=\frac{c_i}{c_j}$, $c_j\neq 0$, $\forall\ i,j=1,2,\ldots,n$. (此条件等价于 $a_{ij}a_{jk}=a_{ik}$, 对任意 $i,j,k$. 这里只是两个数 $a_{ij}$ 和 $a_{jk}$ 做乘积, 不是求和.)

这样的矩阵称为 一致矩阵.

证明:

(1) $\mathrm{rank}(A)=1$;

(2) $A$ 的唯一非零特征值是 $n$;

(3) $A$ 的任一列向量都是关于特征值 $n$ 的特征向量.

6

设 $A,B,C,D$ 是 $n$ 阶方阵, $A$ 可逆. $AC=CA$, $AD+CB=0$. 求 $P=\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix}$ 的秩.

Posted by haifeng on 2016-04-07 21:32:33 last update 2016-04-07 21:32:33 | Answers (1) | 收藏

设 $A,B,C,D$ 是 $n$ 阶方阵, $A$ 可逆. $AC=CA$, $AD+CB=0$.

求 $P=\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix}$ 的秩.

7

设 $A$ 是 $n$ 阶下三角矩阵, 且对角线元素都为 1. 记 $B=(A^{-1})^T$. 证明: $A$ 的任意 $k$ 阶子式等于 $B$ 中相应 $k$ 阶子式的代数余子式.

Posted by haifeng on 2016-03-28 23:38:25 last update 2016-03-29 18:14:53 | Answers (1) | 收藏

设 $A$ 是 $n$ 阶下三角矩阵, 且对角线元素都为 1. 记 $B=(A^{-1})^T$.

证明: $A$ 的任意 $k$ 阶子式等于 $B$ 中相应 $k$ 阶子式的代数余子式.

8

任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵(或下三角矩阵)

Posted by haifeng on 2015-12-27 20:30:36 last update 2015-12-27 20:30:36 | Answers (0) | 收藏

证明: 任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵(或下三角矩阵).

9

证明下面的矩阵属于 $SO(3)$, 且求对应的变换的旋转轴.

Posted by haifeng on 2015-02-03 12:22:23 last update 2015-02-03 12:22:23 | Answers (1) | 收藏

\[
A=\begin{pmatrix}
\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\
-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\
-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\]

证明: $A\in SO(3)$. 求 $A$ 所对应的旋转变换的旋转轴.


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