(1)

\[
\begin{pmatrix}
a & b & c\\
c & b & a\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & a & c\\
1 & b & b\\
​1 & c & a
\end{pmatrix}
\]

题目见 [1] P.132

[1]  李炯生, 查建国  编著 《线性代数》

梅兹内矩阵(Metzler Matrix)

$GL_3(\mathbb{F}_3)$ 中有多少个矩阵?

即由数字 0,1,2 组成的 $3\times 3$ 矩阵中, 可逆的有多少个?

若令 $X_3=\{A\in F^{3\times 3}\mid \det(A)=0\}$, 这里 $F=\mathbb{F}_3$. 问 $X$ 中含有多少个元素?

References:

https://www.zhihu.com/question/508137995

设 $A,B$ 为半正定(positive semidefinite)矩阵, 根据 Jensen 不等式, 有

\[
\Bigl[\mathrm{tr}(A^s+B^s)\Bigr]^{\frac{1}{s}}\leqslant \Bigl[\mathrm{tr}(A^r+B^r)\Bigr]^{\frac{1}{r}},\quad\forall\ s > r > 0.
\]

设 $A$, $B$ 分别为 $m\times n$, $n\times m$ 型矩阵, 且 $AB$ 对称, 问 $BA$ 是否对称?

如果无法推出 $BA$ 对称, 请举几个反例. 并且是否可加一些条件, 使得 $BA$ 对称?

[Ans]

答案显然是否定的.

最简单的例子: 令

\[A=\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}.\]

于是

\[
AB=\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\times 3+2\times 4=11,
\]

\[
BA=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 4 & 8\end{pmatrix},
\]

其中 $BA$ 不是对称矩阵.

设 $A$, $B$ 分别为 $m\times n$, $n\times m$ 型矩阵, 证明: $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.

(即 $AB$ 和 $BA$ 的迹相等, $tr(AB)=tr(BA)$.)

矩阵 $A$ 与 $B$ 分别为 $3\times 2$ 和 $2\times 3$ 型矩阵, 已知

\[
A\cdot B=\begin{pmatrix}
8 & 2 & -2\\
2 & 5 & 4\\
-2 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\]

证明:

\[
B\cdot A=\begin{pmatrix}
9 & 0\\
0 & 9\\
\end{pmatrix}
\]

进一步的问题:  如果有整数解, 求出所有的整数解. 

[Hint] 关于两个矩阵乘积的性质, 参考问题1798

题目来源: MOKOOBO 2015年高等数学试卷

https://mp.weixin.qq.com/s/_gu3qpXZ4NeHkbNSyyea6A
 

假设对称正定的 $n\times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 满足: $A-B$ 也是正定的.

问: 矩阵 $B^{-1}-A^{-1}$ 是否是正定的?

Remark:

题目来源于浙江大学某老师布置的题目.

设 $A,B$ 是 $n$ 阶实方阵, 且满足 $\mathrm{rank}(A+B)=n$, 证明: $A^T A+B^T B$ 是正定矩阵.

求下面矩阵 $A_n$ 的秩(rank)

\[
A_n=\begin{pmatrix}
1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
-\frac{1}{n} & 1-\frac{1}{n}  & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
\vdots &  & \ddots & \vdots & \vdots \\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}  & \cdots & 1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}\\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}  & \cdots & -\frac{1}{n} &1-\frac{1}{n} \\
\end{pmatrix}_{n\times n}
\]