设 $A$, $B$ 分别为 $m\times n$, $n\times m$ 型矩阵, 且 $AB$ 对称, 问 $BA$ 是否对称?

如果无法推出 $BA$ 对称, 请举几个反例. 并且是否可加一些条件, 使得 $BA$ 对称?

[Ans]

答案显然是否定的.

最简单的例子: 令

\[A=\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}.\]

于是

\[
AB=\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\times 3+2\times 4=11,
\]

\[
BA=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 4 & 8\end{pmatrix},
\]

其中 $BA$ 不是对称矩阵.

设 $A$, $B$ 分别为 $m\times n$, $n\times m$ 型矩阵, 证明: $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.

(即 $AB$ 和 $BA$ 的迹相等, $tr(AB)=tr(BA)$.)

矩阵 $A$ 与 $B$ 分别为 $3\times 2$ 和 $2\times 3$ 型矩阵, 已知

\[
A\cdot B=\begin{pmatrix}
8 & 2 & -2\\
2 & 5 & 4\\
-2 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\]

证明:

\[
B\cdot A=\begin{pmatrix}
9 & 0\\
0 & 9\\
\end{pmatrix}
\]

进一步的问题:  如果有整数解, 求出所有的整数解. 

[Hint] 关于两个矩阵乘积的性质, 参考问题1798

题目来源: MOKOOBO 2015年高等数学试卷

https://mp.weixin.qq.com/s/_gu3qpXZ4NeHkbNSyyea6A
 

假设对称正定的 $n\times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 满足: $A-B$ 也是正定的.

问: 矩阵 $B^{-1}-A^{-1}$ 是否是正定的?

Remark:

题目来源于浙江大学某老师布置的题目.

设 $A,B$ 是 $n$ 阶实方阵, 且满足 $\mathrm{rank}(A+B)=n$, 证明: $A^T A+B^T B$ 是正定矩阵.

求下面矩阵 $A_n$ 的秩(rank)

\[
A_n=\begin{pmatrix}
1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
-\frac{1}{n} & 1-\frac{1}{n}  & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
\vdots &  & \ddots & \vdots & \vdots \\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}  & \cdots & 1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}\\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}  & \cdots & -\frac{1}{n} &1-\frac{1}{n} \\
\end{pmatrix}_{n\times n}
\]
 

设矩阵 $A=C^T C$, $B=D^T D$, 这里 $C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵.

证明:

(1) 矩阵 $A$ 和 $B$ 都是半正定矩阵.

(2) 当 $\lambda,\mu$ 都大于零时, 存在实矩阵 $P$, 使得 $\lambda A+\mu B=P^T P$.

Remark:

矩阵正定和半正定的定义和性质参见问题910.

设 $A\in\mathcal{M}(2,\mathbb{R})$, 即 $2$ 阶实方阵, 且 $\mathrm{tr}(A)=0$, 求 $A^2, A^3,\ldots, A^n$.

求 $e^A=\exp(A):=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A^n}{n!}$

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足

\[
a_{ij} > 0,\quad a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}},\quad\forall i,j=1,2,\ldots,n.
\]

则称 $A$ 是一个正互反矩阵.

设 $\lambda$ 是 $n$ 阶正互反矩阵 $A$ 的最大特征值, 证明:

(1) $\lambda\geqslant n$.

(2) 当 $\lambda=n$ 时, $A$ 是一致矩阵.  (当然, 当 $n=1,2$ 时, $A$ 显然是一致矩阵.)

(3) $A$ 的 $n$ 个特征值之和等于 $n$.

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是 $n$ 阶方阵, 其中 $a_{ij}=\frac{c_i}{c_j}$, $c_j\neq 0$, $\forall\ i,j=1,2,\ldots,n$. (此条件等价于 $a_{ij}a_{jk}=a_{ik}$, 对任意 $i,j,k$. 这里只是两个数 $a_{ij}$ 和 $a_{jk}$ 做乘积, 不是求和.)

这样的矩阵称为 一致矩阵.

证明:

(1) $\mathrm{rank}(A)=1$;

(2) $A$ 的唯一非零特征值是 $n$;

(3) $A$ 的任一列向量都是关于特征值 $n$ 的特征向量.