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问题及解答

设 $A,B$ 是 $n$ 阶实方阵, 且满足 $\mathrm{rank}(A+B)=n$, 证明: $A^T A+B^T B$ 是正定矩阵.

Posted by haifeng on 2019-01-13 19:59:58 last update 2019-01-13 19:59:58 | Edit | Answers (1)

设 $A,B$ 是 $n$ 阶实方阵, 且满足 $\mathrm{rank}(A+B)=n$, 证明: $A^T A+B^T B$ 是正定矩阵.

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Posted by haifeng on 2019-01-13 20:09:19

任取 $\vec{0}\neq\vec{x}\in\mathbb{R}^n$, 由于 $\mathrm{rank}(A+B)=n$, 可知 $(A+B)\vec{x}\neq\vec{0}$.  (否则, 若 $(A+B)\vec{x}=\vec{0}$, 则由于 $A+B$ 可逆可推出 $\vec{x}=\vec{0}$.)

于是 $A\vec{x}+B\vec{x}\neq\vec{0}$. 因此 $A\vec{x}$ 和 $B\vec{x}$ 不全是零向量. 故 $\|A\vec{x}\|^2+\|B\vec{x}\|^2 > 0$. 此即

\[
\langle A\vec{x}, A\vec{x}\rangle+\langle B\vec{x}, B\vec{x}\rangle > 0.
\]

\[
\vec{x}^T(A^T A+B^T B)\vec{x} > 0.
\]

因此, $A^T A+B^T B$ 是正定矩阵.