问题及解答

设 $A\in\mathcal{M}(2,\mathbb{R})$, 即 $2$ 阶实方阵, 且 $\mathrm{tr}(A)=0$, 求 $A^2, A^3,\ldots, A^n$.

求 $e^A=\exp(A):=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A^n}{n!}$

不妨设 $A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & -a\end{pmatrix}$, 则

\[
A^2=\begin{pmatrix}a & b\\ c & -a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\ c & -a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+bc & 0\\ 0 & a^2+bc\end{pmatrix}=(a^2+bc)I_2
\]

从而

\[
\begin{aligned}
A^3&=A^2\cdot A=(a^2+bc)I_2\cdot A=(a^2+bc)A,\\
A^4&=A^2\cdot A^2=(a^2+bc)^2 I_2,\\
A^5&=A^4\cdot A=(a^2+bc)^2 A,\\
A^6&=A^4\cdot A^2=(a^2+bc)^2 I_2\cdot (a^2+bc)I_2=(a^2+bc)^3 I_2,\\
\end{aligned}
\]

因此, 应用归纳法容易证明

\[
A^{2n}=(a^2+bc)^n I_2,\quad A^{2n+1}=(a^2+bc)^n A.
\]

因此

\[
\begin{split}
e^A&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A^n}{n!}\\
&=I_2+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots+\frac{A^n}{n!}+\cdots\\
&=I_2+A+\frac{(a^2+bc)}{2!}I_2+\frac{(a^2+bc)}{3!}A+\frac{(a^2+bc)^2}{4!}I_2+\frac{(a^2+bc)^2}{5!}A+\frac{(a^2+bc)^3}{6!}I_2+\cdots\\
&=\biggl(1+\frac{(a^2+bc)}{2!}+\frac{(a^2+bc)^2}{4!}+\frac{(a^2+bc)^3}{6!}+\cdots\biggr)I_2\\
&\quad+\biggl(1+\frac{(a^2+bc)}{3!}+\frac{(a^2+bc)^2}{5!}+\frac{(a^2+bc)^3}{7!}+\cdots\biggr)A\\
\end{split}
\]

因此, 我们有

\[
\mathrm{tr}(e^A)=1+\frac{(a^2+bc)}{2!}+\frac{(a^2+bc)^2}{4!}+\frac{(a^2+bc)^3}{6!}+\cdots
\]