设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可微, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}(f(x)+f'(x))=\ell$, 证明: $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\ell$.

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 且 $f(a)=f(b)=0$, $f'_{+}(a)f'_{-}(b)>0$. 证明: 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f''(\xi)=0$.

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 对于 $[0,1]$ 上的每一个 $x$, $0< f(x) < 1$, 且 $f'(x)\neq 1$, 试证在 $(0,1)$ 内有且仅有一点 $\xi$, 使得 $f(\xi)=\xi$.

设

\[f(x)=\begin{cases}\frac{\varphi(x)}{x},&x\neq 0,\\ 1, &x=0.\end{cases},\] 

其中函数 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处具有二阶导数, 且 $\varphi(0)=0$, $\varphi'(0)=1$, 证明函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且可导.

证明下列不等式:

\[
\tan x > x+\frac{x^3}{3},\quad\forall\ x\in(0,\frac{\pi}{2}).
\]

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可微, 且 $f(a)=f(b)=0$. 证明: 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f'(\xi)=2f(\xi)$.

类似的问题见问题2600.

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可微, 且 $f(a)=f(b)=0$. 证明: 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$.

证明多项式 $x^3-3x+c$ 在 $[0,1]$ 上不存在两个不同的实根.

设 $\alpha,\beta\in(0,\frac{\pi}{2})$, 且 $\alpha\neq\beta$, 证明:

\[1 < \frac{\alpha\cos\beta-\beta\cos\alpha}{\alpha-\beta} < \frac{\pi}{2}.\]

证明: 存在点 $\xi\in(1,e)$, 使得 $\sin 1=\cos\ln\xi$.

P. 112  习题 3.1

5.  设实数 $a_0, a_1, \ldots, a_n$ 满足 $a_0+\dfrac{a_1}{2}+\dfrac{a_2}{3}+\cdots+\dfrac{a_n}{n+1}=0$, 证明: 方程 $a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根.

6.  利用中值定理证明下列不等式:

(1)  $\arctan a-\arctan b < a-b$       $(0 < b < a)$;

10.    设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 在开区间 $(a,b)$ 内可导, 且 $f(a)=f(b)=0$, 证明:  至少存在一点 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$.

与 10 类似的题目是:

(10').    设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 在开区间 $(a,b)$ 内可导, 且 $f(a)=f(b)$, 证明:  至少存在一点 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=f(a)$.

12. 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足关系式 $f'(x)=f(x)$, 且 $f(0)=1$, 那么 $f(x)=e^x$.