按类别列出问题

Mathematics


分析 >> 数学分析 >> 微分中值定理
Questions in category: 微分中值定理 (Differential mean value theorem).

1

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 上可导. 且满足 $f(0)=0$, $f(1)=2$.

Posted by haifeng on 2017-11-30 20:40:55 last update 2017-11-30 20:40:55 | Answers (1) | 收藏

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 上可导. 且满足 $f(0)=0$, $f(1)=2$.

证明:

(1) 存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=1$;

(2) 存在 $0 < x_1 < x_2 < 1$, 使得 $\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{1}{f'(x_2)}=1$.

 

2

设 $f,g$ 都是 $[a,b]$ 上的连续函数, 证明存在 $\xi\in[a,b]$, 使得 $g(\xi)\int_a^{\xi}f(x)dx=f(\xi)\int_{\xi}^{b}g(x)dx$.

Posted by haifeng on 2017-11-09 20:19:18 last update 2017-11-09 20:28:32 | Answers (1) | 收藏

设 $f,g$ 都是 $[a,b]$ 上的连续函数, 证明存在 $\xi\in[a,b]$, 使得

\[
g(\xi)\int_a^{\xi}f(x)dx=f(\xi)\int_{\xi}^{b}g(x)dx.
\]

3

用 Lagrange 中值定理证明 $\frac{1}{x+1} < \ln(x+1)-\ln x <\frac{1}{x}$.

Posted by haifeng on 2016-08-19 00:13:59 last update 2016-08-20 09:08:56 | Answers (1) | 收藏

用 Lagrange 中值定理证明

\[
\frac{1}{x+1} < \ln(x+1)-\ln x <\frac{1}{x}.
\]

 

\[
P_i=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\frac{C_{ij}}{S_i}
\]

4

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导. 且 $f(0)=0$, $f(1)=2$.

Posted by haifeng on 2016-01-14 23:10:31 last update 2016-01-14 23:39:28 | Answers (1) | 收藏

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导. 且 $f(0)=0$, $f(1)=2$.

证明: 存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $f'(\xi)=2f(\xi)+1$.

 


[Think] 需要加什么条件才能得到所要结论?

5

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c)$

Posted by haifeng on 2015-03-03 09:39:24 last update 2015-03-03 09:42:52 | Answers (1) | 收藏

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, $0\not\in[a,b]$. 证明存在一点 $c\in(a,b)$, 使得

\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{c^2}{ab}f'(c).
\]

6

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续单调递减函数, 证明: 对任意 $x\in(0,1)$, 有下面的不等式

Posted by haifeng on 2014-12-28 22:56:00 last update 2014-12-28 22:56:00 | Answers (1) | 收藏

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续单调递减函数, 证明: 对任意 $x\in(0,1)$, 有

\[
\int_0^1 f(t)dt\leqslant\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt.
\]

7

函数单调性验证

Posted by haifeng on 2014-12-28 13:43:08 last update 2014-12-28 13:43:08 | Answers (1) | 收藏

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, 且 $f'(x)<0$. 记

\[F(x)=\frac{1}{x-a}\int_a^x f(t)dt,\]

证明: $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调减少.

8

设 $f\in C[a,b]$, 且在 $(a,b)$ 上可导. 若 $f'(x)\neq 0$, $\forall x\in(a,b)$. 则存在 $\xi,\eta\in(a,b)$, 使得 $f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta)$.

Posted by haifeng on 2014-10-22 20:11:17 last update 2014-10-22 20:19:39 | Answers (1) | 收藏

设 $f\in C[a,b]$, 且在 $(a,b)$ 上可导. 若 $f'(x)\neq 0$, $\forall x\in(a,b)$. 则存在 $\xi,\eta\in(a,b)$, 使得

\[f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta).\]


类似的问题还可以这样设置

使得

\[
\frac{f'(\xi)}{f'(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta}.
\]


一般看到这种形式的等式, 就应该想到使用 Cauchy 中值定理.


Search

New posted more ...