问题及解答

证明: 存在点 $\xi\in(1,e)$, 使得 $\sin 1=\cos\ln\xi$.

【分析】

做这种中值定理的题目, 第一步首先是变形. 从要证明的等式出发, 变形为熟悉的 Rolle 中值定理或 Lagrange 中值定理或 Cauchy 中值定理的形式.

由要证的式子 $\sin 1=\cos\ln\xi$ 出发, 变形为

\[
\sin 1-\sin 0=\cos\ln\xi.
\]

进一步的, 尝试 Lagrange 中值定理的形式,

\[
\frac{\sin\ln e-\sin\ln 1}{1-0}=\cos\ln\xi,
\]

右侧 $\cos\ln\xi$ 肯定与 $\sin\ln x$ 求导后在 $\xi$ 处取值有关. 事实上, $(\sin\ln x)'=(\cos\ln x)\cdot\frac{1}{x}$. 因此还需要将上面的式子进一步变形.

\[
\frac{\sin\ln e-\sin\ln 1}{\ln e-\ln 1}=\cos\ln\xi,
\]

于是, 我们看到应该应用 Cauchy 中值定理.

【证明】

Pf. 考虑两个函数 $f(x)=\sin\ln x$, $g(x)=\ln x$. 这两个函数在 $[1,e]$ 上连续, 在 $(1,e)$ 内可导, 并且 $g(x)=\ln x$ 的导数在 $(1,e)$ 内恒不为零. 因此, 由 Cauchy 中值定理, 存在 $\xi\in(1,e)$, 使得

\[
\frac{\sin\ln e-\sin\ln 1}{\ln e-\ln 1}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{(\cos\ln x)\cdot\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\biggr|_{x=\xi}=\cos\ln\xi.
\]

Q.E.D.

令 $f(x)=\cos\ln x-\sin 1$, 则函数 $f(x)$ 在 $[1,e]$ 上连续. 

\[
\begin{aligned}
f(1)&=\cos\ln 1-\sin 1=\cos 0-\sin 1=1-\sin 1 > 0,\\
f(e)&=\cos\ln e-\sin 1=\cos 1-\sin 1 < 0.
\end{aligned}
\]

因此, 由连续函数的零点定理, 存在 $\xi\in(1,e)$, 使得 $\cos\ln\xi=\sin 1$.

来自广陵学生张益阳的作业解答.