问题及解答

设函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上连续, 在 $(1,2)$ 内可导, 且 $f(1)=\frac{1}{2}$, $f(2)=2$. 证明: 至少存在一点 $\xi\in(1,2)$, 使得

\[f'(\xi)=\frac{2f(\xi)}{\xi}.\]

[分析]

此种类型的题目, 一般先将 $\xi$ 换为 $x$, 然后尝试变形. 注意 $f'$ 通常和 $f$ 在一起. 比如这里

\[
f'(\xi)=\frac{2f(\xi)}{\xi}\quad\rightarrow\quad xf'(x)=2f(x)\quad\rightarrow\quad\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{2}{x}
\]

然后转换为 $(\ln f(x))'=(2\ln x)'$, 此即 $(\ln f(x)-2\ln x)'|_{x=\xi}=0$

令 $\varphi(x)=\ln f(x)-2\ln x$, 则 $\varphi(x)\in C([1,2])$, 且在 $(1,2)$ 内可导.

\[
\begin{aligned}
\varphi(1)&=\ln f(1)-2\ln 1=\ln\frac{1}{2}-0=-\ln 2,\\
\varphi(2)&=\ln f(2)-2\ln 2=\ln 2-2\ln 2=-\ln 2.
\end{aligned}
\]

因此 $\varphi(1)=\varphi(2)$, 故在 $[1,2]$ 上, $\varphi(x)$ 满足 Rolle 中值定理, 因此存在 $\xi\in(1,2)$, 使得 $\varphi'(\xi)=0$.

而

\[
\varphi'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{2}{x}.
\]

因此,

\[
0=\varphi'(\xi)=\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}-\frac{2}{\xi}\ \Rightarrow\ f'(\xi)=\frac{2f(\xi)}{\xi}.
\]