问题及解答

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 对于 $[0,1]$ 上的每一个 $x$, $0< f(x) < 1$, 且 $f'(x)\neq 1$, 试证在 $(0,1)$ 内有且仅有一点 $\xi$, 使得 $f(\xi)=\xi$.

(1) (存在性).  令 $g(x)=x-f(x)$, 则 $g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数. 

\[g(0)=0-f(0) < 0,\quad g(1)=1-f(1) > 0,\]

故由零值定理, 存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $g(\xi)=0$, 即 $f(\xi)=\xi$.

(2) (惟一性).   设另有 $\xi_1\neq \xi$, $\xi_1\in(0,1)$, 使得 $f(\xi_1)=\xi_1$. 不妨设 $\xi_1 < \xi$, 则在 $[\xi_1,\xi]$ 上, 对于 $f(x)$ 应用 Lagrange 中值定理, 知存在 $\zeta\in(\xi_1,\xi)$, 使得

\[
f(\xi)-f(\xi_1)=f'(\zeta)(\xi-\xi_1),
\]

此即

\[
\xi-\xi_1=f'(\zeta)(\xi-\xi_1).
\]

这推出 $f'(\zeta)=1$, 与假设矛盾. 因此惟一性得证.