设
\[f(x)=\begin{cases}\frac{\varphi(x)}{x},&x\neq 0,\\ 1, &x=0.\end{cases},\]
其中函数 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处具有二阶导数, 且 $\varphi(0)=0$, $\varphi'(0)=1$, 证明函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且可导.
1
(1) 由于 $\varphi(0)=0$ 以及 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $\varphi'(0)=1$, 故
\[
\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0}=\varphi'(0)=1=f(0),
\]
因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
(2) $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处具有二阶导数, 故 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 附近有连续的一阶导函数, 当然 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处也连续. 从而 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\varphi(x)=0$.
\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}&=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\frac{\varphi(x)}{x}-1}{x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\varphi(x)-x}{x^2}\\
&\stackrel{0/0}{=}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi'(x)-1}{2x}\\
&=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi'(x)-\varphi'(0)}{x-0}\\
&=\frac{1}{2}\varphi''(0).
\end{split}
\]
因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $f'(0)=\frac{1}{2}\varphi''(0)$.