设 $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$ 的各个偏导数存在且连续, $a,b\in\mathbb{R}$, 则有

(1)  $\mathrm{grad}(au+bv)=a\mathrm{grad}u+b\mathrm{grad}v$;

(2) $\mathrm{grad}(u\cdot v)=v\mathrm{grad}u+u\mathrm{grad}v$.

证明: 曲面 $F(nx-lz,ny-mz)=0$ 在任一点处的切平面都平行于直线
\[
\frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n},
\]
其中 $F$ 具有连续的偏导数.

求曲线
\[
\left\{
\begin{aligned}
2x^2+3y^2+z^2&=9,\\
3x^2+y^2-z^2&=0
\end{aligned}
\right.
\]
在点 $(1,-1,2)$ 处的切线方程和法平面方程.

设 $y=f(x)=x+\frac{a}{x}$, $a>0$. 证明 $f(x)$ 在 $(0,\sqrt{a}]$ 上严格单调递减, 在 $[\sqrt{a},+\infty)$ 上严格单调递增.

(注:  这是高中题, 不使用导数.)

计算下列积分

(1)  $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 5}\sum_{n=1}^{\infty}ne^{-nx}\mathrm{d}x$.

(2)  $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^2(nx)}{n(n+1)}\mathrm{d}x$.

证明: $\dfrac{1}{\sin^2 x}=\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\dfrac{1}{(x+k\pi)^2}$, $\forall\ x\neq k\pi$. 该级数在任何不包含 $\{k\pi\}$ 的闭区间上都是一致收敛的. 该级数也可改写为
\[
\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{1}{x^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{1}{(x+n\pi)^2}+\frac{1}{(x-n\pi)^2}\Bigr],\quad x\neq k\pi.
\]

特别地, 令 $x\rightarrow 0$, 得
\[
\frac{1}{3}=\lim_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{x^2}\Bigr)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n\pi)^2},
\]\pause
由此推出
\[
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.
\]

参考 [1] P.319--320.

References:

[1] 梅加强 编著 《数学分析》.

证明: $x\neq 2k\pi$ 时,

\[
\sum\limits_{k=1}^{n}\sin kx=\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx=\dfrac{\cos\frac{1}{2}x-\cos\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}
\]

令 $f(x)=\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^x$, $x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$,

证明 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,+\infty)$ 上都是严格单调递增的.

用数学归纳法证明 Bernoulli 不等式

\[
(1+x)^n\geqslant 1+nx,\quad (x\geqslant -1).
\]

对 $x=-\frac{1}{(1+n)^2}$ 应用 Bernoulli 不等式说明 $a_n=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n$ 的严格单调性.

参见 [1] 习题 2.2, 8

[1] 梅加强 著 《数学分析》

设 $b_k > 0$ $(1\leqslant k\leqslant n)$, 且

\[m\leqslant\frac{a_k}{b_k}\leqslant M,\quad\forall 1\leqslant k\leqslant n,\]

则有

\[m\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leqslant M .\]

见 [1] 引理 2.4.1.   此引理用于证明 Stolz 公式.  当然, 作为 Stolz 公式的特殊情形, 下面这个问题3345也可以直接用此引理证明.

Exer.  设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=A$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$.

References:

[1] 梅加强  著 《数学分析》