1. 证明: $\log(n!)\geqslant\frac{n}{2}\log\frac{n}{2}$.
Posted by haifeng on 2023-06-02 09:08:28 last update 2023-06-02 09:08:28 | Answers (1) | 收藏
证明: $\log(n!)\geqslant\frac{n}{2}\log\frac{n}{2}$.
Posted by haifeng on 2023-06-02 09:08:28 last update 2023-06-02 09:08:28 | Answers (1) | 收藏
证明: $\log(n!)\geqslant\frac{n}{2}\log\frac{n}{2}$.
Posted by haifeng on 2023-04-09 22:52:56 last update 2023-04-09 23:18:34 | Answers (1) | 收藏
证明: 当正整数 $n\geqslant 3$ 时, 有
\[n! < (\frac{n}{2})^n+(\frac{n}{2})^n=\frac{n^n}{2^{n-1}}.\]
Posted by haifeng on 2022-03-24 21:40:49 last update 2022-03-24 21:41:49 | Answers (1) | 收藏
设 $f(x,y)$ 分别关于变量 $x,y$ 为连续函数, 证明: 如果 $f$ 关于其中一个变量是单调函数(比如偏导数存在且非负), 则 $f$ 为二元连续函数.
参考自[1] P. 416 习题 12.1 第9题.
References:
[1] 梅加强 著 《数学分析》, 高等教育出版社.
Posted by haifeng on 2022-01-23 14:20:04 last update 2022-01-23 14:59:20 | Answers (1) | 收藏
设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的有界可积函数, 证明
\[\liminf_{t\rightarrow\infty}f(t)\leqslant\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t}f(s)\mathrm{d}s.\]
Remark: $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上可积即可.
Keywords: 上极限($\limsup$)、下极限($\liminf$)
Posted by haifeng on 2021-11-27 20:51:52 last update 2021-11-27 20:51:52 | Answers (3) | 收藏
证明: 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2})$ 时, $\sin x+\tan x\geqslant 2x$.
Posted by haifeng on 2021-11-13 17:01:05 last update 2021-11-13 17:01:05 | Answers (1) | 收藏
设函数 $f(x)\in C([a,b])$, 且 $a < x_1 < x_2 < b$, 证明: 至少存在一点 $\xi\in[x_1,x_2]$, 使得
\[f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.\]
Posted by haifeng on 2021-07-17 11:46:07 last update 2021-07-18 10:28:27 | Answers (2) | 收藏
若 $\theta$ 满足 $n\theta=2\pi$, $n\geqslant 2$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=0$, 即
\[
\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)+\cdots+\cos(n\theta)=0.\tag{1}
\]
对于 $\sin$, 结论更显然.
\[
\sin\theta+\sin(2\theta)+\sin(3\theta)+\cdots+\sin(n\theta)=0.\tag{2}
\]
将坐标系转动某个角度, 等式是否仍成立? 也可以表述如下:
\[
\cos(\theta+\delta)+\cos(2\theta+\delta)+\cos(3\theta+\delta)+\cdots+\cos(n\theta+\delta)=0\ ?
\]
要求: 不使用下面的公式
\[
\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)+\cdots+\cos(n\theta)=\frac{\sin\frac{n}{2}\theta\cdot\cos\frac{n+1}{2}\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\tag{*}
\]
(1) 和 (2), 更一般的, 写为
\[
\sum_{x=1}^{q}e_q(hx)=\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i hx/q}=0,\qquad(\text{当} q\nmid h)
\]
参见问题2791
例如 若 $3\theta=2\pi$, 则
\[
\begin{split}
&\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)\\
=&\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3}+\cos\frac{6\pi}{3}\\
=&-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\\
=&0.
\end{split}
\]
(关于 $\cos 3\theta$ 的展开, 可参见问题2398 )
还可以由此求一些特殊角的余弦值, 例如 $\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
Posted by haifeng on 2021-02-24 19:03:49 last update 2021-02-24 19:03:49 | Answers (1) | 收藏
若抛物线 $y=ax^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 相切, 求 $a$ 的值.
[分析] 若 $a < 0$, 则抛物线开口向下, 不可能与对数曲线 $y=\ln x$ 相切. 故这里推出 $a > 0$.
Posted by haifeng on 2020-12-31 11:03:55 last update 2020-12-31 11:03:55 | Answers (0) | 收藏
试确定常数 $a,b$, 使函数
\[f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x^2 e^{n(x-1)}+ax+b}{e^{n(x-1)}+1}\]
在 $x=1$ 处可导.
Posted by haifeng on 2020-11-29 06:56:38 last update 2020-11-29 06:56:38 | Answers (1) | 收藏
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导. 过 $A=(0,f(0))$ 与 $B=(1,f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C=(c,f(c))$, 其中 $c\in(0,1)$.
证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f''(\xi)=0$.