Questions in category: 数学分析 (Mathematical Analysis)
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1. [Def]凹函数

Posted by haifeng on 2019-04-14 22:25:14 last update 2019-04-14 22:26:35 | Answers (0) | 收藏


[Def] $f$ 是定义在 $I\subset\mathbb{R}$ 上的一个凹函数, 是指对任意 $x,y\in I$, 满足下面的不等式:

\[
\frac{pf(x)+qf(y)}{p+q}\leqslant f(\frac{px+qy}{p+q}),\quad\forall\ p,q\in\mathbb{R}_0^+.
\]
 


References:

C. E. M. Pearce, J. E. Pecaric, On Some Inequalities of Brenner and Alzer for Concave Functions.

 

2. Favard 不等式

Posted by haifeng on 2019-04-14 21:25:12 last update 2019-04-14 21:37:16 | Answers (0) | 收藏


Favard 不等式

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 则有

\[
\int_0^1 f(x)dx\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}}{2}\|f\|_p,\quad\forall\ p\geqslant 1.
\]

这里

\[\|f\|_p=\biggl(\int_0^1 f^p(x)dx\biggr)^{\frac{1}{p}}.\]

 


References:

J. Favard, Sur les valeurs moyennes. Bull. Sci. Math., 57 (1933), pp. 54-64.

 

3. 证明不等式 $x\cdot 2^{1+\frac{1}{x}}\geqslant(x+1)^{1+\frac{1}{x}}$, 这里 $x\in(0,1]$.

Posted by haifeng on 2019-04-14 15:06:23 last update 2019-04-14 15:06:23 | Answers (1) | 收藏


证明不等式

\[x\cdot 2^{1+\frac{1}{x}}\geqslant(x+1)^{1+\frac{1}{x}},\]

这里 $x\in(0,1]$.

4. 关于凹函数的 Grüss-Barnes 不等式

Posted by haifeng on 2019-04-13 23:40:59 last update 2019-04-14 22:18:51 | Answers (2) | 收藏


设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 证明

\[
\int_0^1 f^2(x)dx\leqslant\frac{4}{3}\biggl(\int_0^1 f(x)dx\biggr)^2
\]


这个结论最初是由 G. Grüss 证明的([1],[2]). 他实际上证明了

设 $f$ 和 $g$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 则有

\[
\int_0^1 f(x)g(x)dx\leqslant\frac{4}{3}\int_0^1 f(x)dx\int_0^1 g(x)dx.
\]


一般的有  (参见[2])

设 $f$ 和 $g$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数

(1)若 $p,q\geqslant 1$, 则

\[
\int_0^1 f(x)g(x)dx\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}(q+1)^{1/q}}{6}\|f\|_p\|g\|_q.
\]

(2)若 $0 < p,q\leqslant 1$, 则

\[
\int_0^1 f(x)g(x)dx\leqslant\frac{(p+1)^{1/p}(q+1)^{1/q}}{3}\|f\|_p\|g\|_q.
\]


 

Favard 不等式

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 则有

\[
\int_0^1 f(x)dx\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}}{2}\|f\|_p,\quad\forall\ p\geqslant 1.
\]

 

Remark:

(i) 上面的(1)可从其 $p=q=1$ 的特殊情况和上面的 Favard 不等式直接推出. [2]

(ii) 上面的(2)也可从其 $p=q=1$ 的特殊情况和上面的 Favard 不等式直接推出?? [2]

 

(1) 和 (2) 在 $p=q=1$ 的情形首先是由 Grüss 证明的[1].

(1) 的关于 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 的情形是由 Bellman 证明的[3].

(1) 和 (2) 的一般情形由 Barnes 证明[4].

因此我们将 (1) 和 (2) 称为 Grüss-Barnes 不等式.


Borell 观察到, (1)式右边在添加了一些边界项后依然成立.

命题 [Borell 不等式] 设 $f,g$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数. 若 $p,q\geqslant 1$, 则

\[
\int_0^1 f(x)g(x)dx\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}(q+1)^{1/q}}{6}\|f\|_p\|g\|_q+\frac{f(0)g(0)+f(1)g(1)}{6}.
\]

 


Grüss-Barnes 不等式的推广

命题. 设 $f_1,f_2,\ldots,f_n$ 是定义在 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 令 $p_k\geqslant 1$, $(k=1,2,\ldots,n)$. 则

\[
C_n\int_0^1 \prod_{k=1}^{n}f_k(x)dx\geqslant\prod_{k=1}^{n}(p_k+1)^{1/p_k}\|f_k\|_{p_k},
\]

这里

\[
C_n=\frac{(n+1)!}{\bigl[\frac{n}{2}\bigr]!\bigl[\frac{n+1}{2}\bigr]!}.
\]

假设 $I$ 和 $I'$ 是指标集合, 满足 $I\cup I'=\{1,2,\ldots,n\}$, 并且 $I$ 和 $I'$ 中有一个包含 $[\frac{n}{2}]$ 个元素. 则当 $f_k(x)=x$, $k\in I$ 且 $f_k(x)=1-x$, $k\in I'$ 时, 上面不等式中的等号成立.

这个结果由 Borell, Godunova 和 Levin 独立发现. 甚至此命题更早地由 Nehari 证明, 但是其中 $C_n$ 被一个错误的常数 $D_n=\dfrac{(n+1)!}{([n/2]!)^2}$ 所替代.


更一般的结果是:

1933年, Favard 证明了: 设 $f_k(x)$ 是 $[a,b]$ 上的非负连续凹函数, 则有

\[
\int_a^b\biggl(\prod_{k=1}^{n}f_k(x)\biggr)dx\leqslant\frac{2^n}{n+1}\cdot\frac{1}{(b-a)^{n-1}}\prod_{k=1}^{n}\int_a^b f_k(x)dx.
\]

 

 

Berwald's inequality.

设 $f$ 是区间 $I=[0,a]$ 上的一个非负连续凹函数(concave function), 且设 $0

\[
\biggl(\frac{1}{a}\int_0^a f^p(x)dx\biggr)^{\frac{1}{p}}\leqslant\frac{(1+r)^{1/r}}{(1+p)^{1/p}}\biggl(\frac{1}{a}\int_0^a f^r(x)dx\biggr)^{\frac{1}{r}}
\]

 


References:

[1] G. Grüss, Über das Maximum des absoluten Betrages von $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)g(x)dx-\frac{1}{(a-b)^2}\int_a^b f(x)dx\int_a^b g(x)dx$, Math. Z. 39(1935), 215-226.

[2] L. Maligranda, J. E. Pecaric, L. E. Persson, On some Inequalities of the Grüss-Barnes and Borell Type. Journal of Mathematical Analysis and Applications 187, 306-323 (1994).

[3] R. Bellman, Converses of Schwarz's inequality, Duke Math. J.23(1956), 429-434.

[4] D. C. Barnes, Some complements of Hölder's inequality, J. Math. Anal. Appl. 26 (1969), 82-87.

[5] C. Borell, "Inverse Inequalities for Concave or Generalized Concave Functions." Research Report No. 44, Dept. of Math. Uppsala University, 1972.

 

Books:

匡继昌 《常用不等式》 P.444  (Andersson 不等式)

Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson, CONVEX FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS, A contemporary approach,  September 16, 2004.

 

J. Favard, Sur les valeurs moyennes. Bull. Sci. Math., 57 (1933), pp. 54-64.

 

 


这里的内容主要来源于文章 [2].

5. 变速直线运动问题

Posted by haifeng on 2019-03-23 22:17:04 last update 2019-03-23 22:17:32 | Answers (2) | 收藏


一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动, 其速度大小与其离开洞口的距离成反比. 当其到达距洞口为 $d_1$ 的 $A$ 点时速度为 $v_1$, 若路径上 $B$ 点离洞口的距离为 $d_2$ ($d_2 > d_1$).

求老鼠由 $A$ 点运动到 $B$ 点所需的时间.

 


Remark:

题目由 David Chen 提供.

6. [Calculator]指数函数$\exp(x)$, e 的值(value of e)

Posted by haifeng on 2018-11-28 10:43:30 last update 2018-11-28 10:45:29 | Answers (0) | 收藏


>> exp(1)
in> exp(1)
out> 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101902

 


 

Calculator 下载

7. 设 $f(x)\in C[a,b]$, 求证: $f(x)$ 是凸的当且仅当 $f(x)\leqslant\frac{1}{2h}\int_{-h}^{h}f(x+t)dt$ 对 $\forall\ [x-h,x+h]\subset[a,b]$ 成立.

Posted by haifeng on 2018-04-11 23:16:25 last update 2018-04-11 23:16:25 | Answers (0) | 收藏


设 $f(x)\in C[a,b]$, 求证: $f(x)$ 是凸的当且仅当

\[
f(x)\leqslant\frac{1}{2h}\int_{-h}^{h}f(x+t)dt
\]

对 $\forall\ [x-h,x+h]\subset[a,b]$ 成立.

8. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $f(a)=f(b)$. 证明: 一定存在长度为 $\frac{b-a}{2}$ 的区间 $[\lambda,\mu]\subset[a,b]$, 使得 $f(\lambda)=f(\mu)$.

Posted by haifeng on 2017-12-19 07:45:32 last update 2017-12-19 07:45:32 | Answers (1) | 收藏


设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $f(a)=f(b)$. 证明: 一定存在长度为 $\frac{b-a}{2}$ 的区间 $[\lambda,\mu]\subset[a,b]$, 使得 $f(\lambda)=f(\mu)$.
 

9. 设 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负数列, 满足 $a_{n+1}\leqslant a_n+\frac{1}{n^2}$, $n=1,2,3,\ldots$. 证明 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛.

Posted by haifeng on 2017-11-09 20:48:36 last update 2017-11-09 20:48:36 | Answers (1) | 收藏


设 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负数列, 满足

\[
a_{n+1}\leqslant a_n+\frac{1}{n^2},\quad n=1,2,3,\ldots
\]

证明 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛.

10. 三角函数和差化积公式的推导

Posted by haifeng on 2017-10-23 19:25:17 last update 2019-04-15 20:21:33 | Answers (2) | 收藏


\[
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{1}
\]

\[
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{2}
\]

\[
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{3}
\]

\[
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{4}
\]

 


Remark:

我们只需要证明 (1), 因为其余的可以由 (1) 推出.

我们这里给出的关于 (1) 的参考证明利用了几何方法.   (这个几何图形是一个很熟悉的直角梯形. 类似的直角梯形在问题2021中也出现过.)

 


Remark:

如果 (3)-(4), 则得

\[
\cos\beta=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
\]

此时, 若令 $x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$, $y=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$, 则 $x-y=\beta$, 于是得到

\[
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.
\]

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