Questions in category: 数学分析 (Mathematical Analysis)
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1. 设 $f(x)\in C[a,b]$, 求证: $f(x)$ 是凸的当且仅当 $f(x)\leqslant\frac{1}{2h}\int_{-h}^{h}f(x+t)dt$ 对 $\forall\ [x-h,x+h]\subset[a,b]$ 成立.

Posted by haifeng on 2018-04-11 23:16:25 last update 2018-04-11 23:16:25 | Answers (0) | 收藏


设 $f(x)\in C[a,b]$, 求证: $f(x)$ 是凸的当且仅当

\[
f(x)\leqslant\frac{1}{2h}\int_{-h}^{h}f(x+t)dt
\]

对 $\forall\ [x-h,x+h]\subset[a,b]$ 成立.

2. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $f(a)=f(b)$. 证明: 一定存在长度为 $\frac{b-a}{2}$ 的区间 $[\lambda,\mu]\subset[a,b]$, 使得 $f(\lambda)=f(\mu)$.

Posted by haifeng on 2017-12-19 07:45:32 last update 2017-12-19 07:45:32 | Answers (1) | 收藏


设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $f(a)=f(b)$. 证明: 一定存在长度为 $\frac{b-a}{2}$ 的区间 $[\lambda,\mu]\subset[a,b]$, 使得 $f(\lambda)=f(\mu)$.
 

3. 设 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负数列, 满足 $a_{n+1}\leqslant a_n+\frac{1}{n^2}$, $n=1,2,3,\ldots$. 证明 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛.

Posted by haifeng on 2017-11-09 20:48:36 last update 2017-11-09 20:48:36 | Answers (1) | 收藏


设 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负数列, 满足

\[
a_{n+1}\leqslant a_n+\frac{1}{n^2},\quad n=1,2,3,\ldots
\]

证明 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛.

4. 三角函数和差化积公式的推导

Posted by haifeng on 2017-10-23 19:25:17 last update 2017-10-23 20:02:41 | Answers (2) | 收藏


\[
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{1}
\]

\[
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{2}
\]

\[
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{3}
\]

\[
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{4}
\]

 


Remark:

我们只需要证明 (1), 因为其余的可以由 (1) 推出.

我们这里给出的关于 (1) 的参考证明利用了几何方法.   (这个几何图形是一个很熟悉的直角梯形. 类似的直角梯形在问题2021中也出现过.)

 

5. 举一个仅在 $x=0$ 处有导数的函数例子

Posted by haifeng on 2017-09-09 11:25:55 last update 2017-09-09 11:25:55 | Answers (1) | 收藏


证明函数

\[
f(x)=\begin{cases}
x^2, & x \text{为无理数},\\
0, & x \text{为有理数},\\
\end{cases}
\]

仅在 $x=0$ 处有导数.
 

6. [by Richard Rado, 1930s]狮子和基督徒的问题

Posted by haifeng on 2017-06-26 22:53:00 last update 2017-06-26 23:09:10 | Answers (0) | 收藏


The Lion and The Christian

 

A lion and a Christian in a closed circular Roman arena have equal maximum speeds. Can the lion catch the Christian in finite time?

 

一头狮子和一个基督徒在一个封闭的圆形罗马竞技场中,他们具有相同的最大速度。问狮子能否在有限的时间内追到基督徒?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remark: 这个 Coffee Time 是由孙强(Qiang SUN)发起的, 第一个题目是“狮子与基督徒问题”, 来源于下面的 References 中的 Béla Bollobás 所著之书.

 

 

 

 

 

 

 

 


References:

Béla Bollobás (ed.), Littlewood's Miscellany, Cambridge University Press (1986), 200pp.

H. T. Croft, 'Lion and man': a postscript, J. London Math. Soc. 39 (1964), 385--390.

7. 证明: Riemann 函数处处不可导.

Posted by haifeng on 2017-06-07 11:06:11 last update 2017-06-23 15:53:52 | Answers (0) | 收藏


Riemann 函数定义为:

\[
R(x)=\begin{cases}
\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p}\in(0,1)\cap\mathbb{Q},\quad p, q\ \text{为互素正整数},\\
0, & x\ \text{为无理数}.
\end{cases}
\]

证明: Riemann 函数 $R(x)$ 处处不可导.

 

阅读问题1375


References:

梅加强 编著 《数学分析》Mathematical Analysis,  高等教育出版社. 2011.

8. 设 $f(x)\in C[0,n]$, $n$ 是某个正整数. 函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=f(n)$. 证明存在 $a\in[0,n-1]$, 使得 $f(a)=f(a+1)$.

Posted by haifeng on 2017-04-18 19:13:19 last update 2017-04-18 19:13:19 | Answers (2) | 收藏


设 $f(x)\in C[0,n]$, $n$ 是某个正整数. 函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=f(n)$. 证明存在 $a\in[0,n-1]$, 使得 $f(a)=f(a+1)$.

9. 设 $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续可微函数, 且 $f(0)=0$. 证明 $\sup_{0\leqslant x\leqslant 1}|f(x)|\leqslant\sqrt{\int_0^1 (f'(x))^2 dx}$.

Posted by haifeng on 2016-10-19 13:43:16 last update 2016-10-19 13:43:16 | Answers (0) | 收藏


设 $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续可微函数, 且 $f(0)=0$. 证明

\[
\sup_{0\leqslant x\leqslant 1}|f(x)|\leqslant\sqrt{\int_0^1 (f'(x))^2 dx}.
\]

10. 证明: $(\cos\theta)^p\leqslant\cos(p\theta)$, 这里 $\theta\in[0,2\pi]$, $0 < p <1$.

Posted by haifeng on 2016-10-19 13:30:45 last update 2016-10-19 13:30:45 | Answers (1) | 收藏


证明: $(\cos\theta)^p\leqslant\cos(p\theta)$, 这里 $\theta\in[0,2\pi]$, $0 < p <1$.

 


Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition. (伯克利数学问题集)

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