问题及解答

证明: 曲面 $F(nx-lz,ny-mz)=0$ 在任一点处的切平面都平行于直线
\[
\frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n},
\]
其中 $F$ 具有连续的偏导数.

令 $\varphi(x,y,z)=F(nx-lz,ny-mz)$, 则
\[
\varphi'_x=F'_1\cdot n+F'_2\cdot 0,\quad\varphi'_y=F'_1\cdot 0+F'_2\cdot n,\quad\varphi'_z=F'_1\cdot(-l)+F'_2\cdot(-m).
\]
故此曲面在 $(x,y,z)$ 处的法向量为
\[
\vec{N}=(\varphi_x,\varphi_y,\varphi_z)=(nF'_1,nF'_2,-lF'_1-mF'_2),
\]
记 $\vec{v}=(l,m,n)$, 则
\[
\vec{N}\cdot\vec{v}=nF'_1\cdot l+nF'_2\cdot m+(-lF'_1-mF'_2)\cdot n=0.
\]
因此, 此曲面在任一点处的切平面都与直线 $\frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n}$ 平行.