设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $\int_a^x f(x)\mathrm{d}x\geqslant 0$, $\forall x\in[a,b]$. 且 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=0$.

证明: $\int_a^b xf(x)\mathrm{d}x\leqslant 0$.

 

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类似的题目, 见问题1519, 问题2854
 

求 $x^2+x+\frac{8}{x}$ 在区间 $[1,10]$ 上的极值.

 

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[分析]

记 $f(x)=x^2+x+\frac{8}{x}$, 则 $f'(x)=2x+1-\frac{8}{x^2}$. 令 $f'(x)=0$ 求驻点, 则得到一个一元三次方程.

\[
2x^3+x^2-8=0.
\]

这样用到三次方程的求根公式(关于此公式的历史, 真正的发现者是意大利数学家 Niccolò Fontana. Fontana 由于口吃, 被人称为 Tartaglia. 因此这个公式也叫 Tartaglia 公式. 由于 Fontana 将公式透露给卡尔丹诺, 卡尔丹诺没有遵守承诺保密而自己率先将公式发表, 于是历史上也称此公式为卡尔丹诺公式.)

 

Chen 告诉我他通过代入三次方程的求根公式, 解得

\[
x_0=\sqrt[3]{\frac{431}{216}+\frac{\sqrt{1290}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{431}{216}-\frac{\sqrt{1290}}{18}}-\frac{1}{6}.
\]

因此, $f(x)$ 在 $x=x_0$ 时, 函数值取得最小.

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由此衍生出一个小问题:

Q. 求证 $m^2(2m+n)=(2n)^3$ 无正整数解. 

(如不使用 Fontana 公式, 该如何证明?)

 

 

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Remark: 问题来源于 David Chen.

 

 

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References:

 

Nicolo Tartaglia

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Tartaglia.html

用三种方法求 $y=a^x$ 的导数

1. 用导数的定义

2. 利用等价无穷小

\[
\begin{split}
y'_x&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^{h}-1}{h}\\
&=a^x\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h}=a^x\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\ln a}{h}=a^x\ln a.
\end{split}
\]

3. 利用复合函数的求导规则

\[
y'_x=(a^x)'=(e^{x\ln a})'=e^{x\ln a}\cdot(x\ln a)'=a^x\ln a.
\]

[Def] $f$ 是定义在 $I\subset\mathbb{R}$ 上的一个凹函数, 是指对任意 $x,y\in I$, 满足下面的不等式:

\[
\frac{pf(x)+qf(y)}{p+q}\leqslant f(\frac{px+qy}{p+q}),\quad\forall\ p,q\in\mathbb{R}_0^+.
\]
 

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References:

C. E. M. Pearce, J. E. Pecaric, On Some Inequalities of Brenner and Alzer for Concave Functions.

 

Favard 不等式

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 则有

\[
\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}}{2}\|f\|_p,\quad\forall\ p\geqslant 1.
\]

这里

\[\|f\|_p=\biggl(\int_0^1 f^p(x)\mathrm{d}x\biggr)^{\frac{1}{p}}.\]

 

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References:

J. Favard, Sur les valeurs moyennes. Bull. Sci. Math., 57 (1933), pp. 54-64.

 

证明不等式

\[x\cdot 2^{1+\frac{1}{x}}\geqslant(x+1)^{1+\frac{1}{x}},\]

这里 $x\in(0,1]$.

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 证明

\[
\int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x\leqslant\frac{4}{3}\biggl(\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\biggr)^2
\]

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这个结论最初是由 G. Grüss 证明的([1],[2]). 他实际上证明了

设 $f$ 和 $g$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 则有

\[
\int_0^1 f(x)g(x)\mathrm{d}x\leqslant\frac{4}{3}\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\int_0^1 g(x)\mathrm{d}x.
\]

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一般的有  (参见[2])

设 $f$ 和 $g$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数

（1）若 $p,q\geqslant 1$, 则

\[
\int_0^1 f(x)g(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}(q+1)^{1/q}}{6}\|f\|_p\|g\|_q.
\]

（2）若 $0 < p,q\leqslant 1$, 则

\[
\int_0^1 f(x)g(x)\mathrm{d}x\leqslant\frac{(p+1)^{1/p}(q+1)^{1/q}}{3}\|f\|_p\|g\|_q.
\]

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Favard 不等式

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 则有

\[
\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}}{2}\|f\|_p,\quad\forall\ p\geqslant 1.
\]

 

Remark:

(i) 上面的（1）可从其 $p=q=1$ 的特殊情况和上面的 Favard 不等式直接推出. [2]

(ii) 上面的（2）也可从其 $p=q=1$ 的特殊情况和上面的 Favard 不等式直接推出?? [2]

 

(1) 和 (2) 在 $p=q=1$ 的情形首先是由 Grüss 证明的[1].

(1) 的关于 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 的情形是由 Bellman 证明的[3].

(1) 和 (2) 的一般情形由 Barnes 证明[4].

因此我们将 (1) 和 (2) 称为 Grüss-Barnes 不等式.

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Borell 观察到, (1)式右边在添加了一些边界项后依然成立.

命题 [Borell 不等式] 设 $f,g$ 是 $[0,1]$ 上的非负凹函数. 若 $p,q\geqslant 1$, 则

\[
\int_0^1 f(x)g(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{(p+1)^{1/p}(q+1)^{1/q}}{6}\|f\|_p\|g\|_q+\frac{f(0)g(0)+f(1)g(1)}{6}.
\]

 

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Grüss-Barnes 不等式的推广

命题. 设 $f_1,f_2,\ldots,f_n$ 是定义在 $[0,1]$ 上的非负凹函数, 令 $p_k\geqslant 1$, $(k=1,2,\ldots,n)$. 则

\[
C_n\int_0^1 \prod_{k=1}^{n}f_k(x)\mathrm{d}x\geqslant\prod_{k=1}^{n}(p_k+1)^{1/p_k}\|f_k\|_{p_k},
\]

这里

\[
C_n=\frac{(n+1)!}{\bigl[\frac{n}{2}\bigr]!\bigl[\frac{n+1}{2}\bigr]!}.
\]

假设 $I$ 和 $I'$ 是指标集合, 满足 $I\cup I'=\{1,2,\ldots,n\}$, 并且 $I$ 和 $I'$ 中有一个包含 $[\frac{n}{2}]$ 个元素. 则当 $f_k(x)=x$, $k\in I$ 且 $f_k(x)=1-x$, $k\in I'$ 时, 上面不等式中的等号成立.

这个结果由 Borell, Godunova 和 Levin 独立发现. 甚至此命题更早地由 Nehari 证明, 但是其中 $C_n$ 被一个错误的常数 $D_n=\dfrac{(n+1)!}{([n/2]!)^2}$ 所替代.

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更一般的结果是:

1933年, Favard 证明了: 设 $f_k(x)$ 是 $[a,b]$ 上的非负连续凹函数, 则有

\[
\int_a^b\biggl(\prod_{k=1}^{n}f_k(x)\biggr)\mathrm{d}x\leqslant\frac{2^n}{n+1}\cdot\frac{1}{(b-a)^{n-1}}\prod_{k=1}^{n}\int_a^b f_k(x)\mathrm{d}x.
\]

 

 

Berwald's inequality.

设 $f$ 是区间 $I=[0,a]$ 上的一个非负连续凹函数(concave function), 且设 $0

\[
\biggl(\frac{1}{a}\int_0^a f^p(x)\mathrm{d}x\biggr)^{\frac{1}{p}}\leqslant\frac{(1+r)^{1/r}}{(1+p)^{1/p}}\biggl(\frac{1}{a}\int_0^a f^r(x)\mathrm{d}x\biggr)^{\frac{1}{r}}
\]

 

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References:

[1] G. Grüss, Über das Maximum des absoluten Betrages von $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x-\frac{1}{(a-b)^2}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$, Math. Z. 39(1935), 215-226.

[2] L. Maligranda, J. E. Pecaric, L. E. Persson, On some Inequalities of the Grüss-Barnes and Borell Type. Journal of Mathematical Analysis and Applications 187, 306-323 (1994).

[3] R. Bellman, Converses of Schwarz's inequality, Duke Math. J.23(1956), 429-434.

[4] D. C. Barnes, Some complements of Hölder's inequality, J. Math. Anal. Appl. 26 (1969), 82-87.

[5] C. Borell, "Inverse Inequalities for Concave or Generalized Concave Functions." Research Report No. 44, Dept. of Math. Uppsala University, 1972.

 

Books:

匡继昌 《常用不等式》 P.444  (Andersson 不等式)

Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson, CONVEX FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS, A contemporary approach,  September 16, 2004.

 

J. Favard, Sur les valeurs moyennes. Bull. Sci. Math., 57 (1933), pp. 54-64.

 

 

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这里的内容主要来源于文章 [2].

一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动, 其速度大小与其离开洞口的距离成反比. 当其到达距洞口为 $d_1$ 的 $A$ 点时速度为 $v_1$, 若路径上 $B$ 点离洞口的距离为 $d_2$ ($d_2 > d_1$).

求老鼠由 $A$ 点运动到 $B$ 点所需的时间.

 

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Remark:

题目由 David Chen 提供.

>> exp(1)
in> exp(1)
out> 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101902

 

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Calculator 下载

设 $f(x)\in C[a,b]$, 求证: $f(x)$ 是凸的当且仅当

\[
f(x)\leqslant\frac{1}{2h}\int_{-h}^{h}f(x+t)dt
\]

对 $\forall\ [x-h,x+h]\subset[a,b]$ 成立.