试补充定义 $f(0)$, 使函数

\[
f(x)=\biggl(\frac{1+x2^x}{1+x3^x}\biggr)^{\frac{1}{x^2}}
\]

在 $x=0$ 处连续.

P. 58

2. 证明: 方程 $x^3-3x^2+1=0$ 至少有一个小于 1 的正根.

4. 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 且对 $\forall\ x\in[0,1]$, 有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1$. 证明: 至少存在一点 $x_0\in[0,1]$, 使得 $f(x_0)=x_0$.

P.56

2. 讨论下列函数的连续性, 若有间断点, 指出其类型.

(2)  $f(x)=\dfrac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}$

3.  求函数 $f(x)=\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+x-6}}$ 的连续区间, 并求 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x)$.

6.  求下列极限:

(2)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x^2-3x-4}{\sqrt{x^4+1}}$

(5)  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+xe^x)^{\frac{x+1}{x}}$     (参见问题2348)

(6)  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{x^2+x+1}{x^2+x}\Bigr)^{2x^2}$     (参见问题2349)

Prop. 严格单调递增(减)的连续函数有反函数, 其反函数也是严格单调递增(减)的连续函数.

证明: 单调有界数列必有极限.

证明: $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0$ 当且仅当 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|x_n|=0$.

证明: $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$.

至少有三种证法.

(1) 数学归纳法(mathematical induction)

(2) 考虑telescoping sum $\sum\limits_{i=1}^{n}[(i+1)^4-i^4]$

(3) 由 Abu Bekr Mohammed ibn Alhusain Alkarchi 在公元后大约1010年左右证明. 使用一个边长为 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的正方形来证明. 此正方形的边被分割成长度依次为 $1,2,3,\ldots,n$ 的线段.

(4) 第四种证明是由 David Chen (陈)的儿子（六年级）在2019年12月20日发现的. 使用了下面的观察, 也是一种 telescoping sum

首先 $i^3=(i-1)i(i+1)+i$, 然后观察到

\[
(i-1)i(i+1)=\frac{1}{4}\Bigl[(i-1)i(i+1)(i+2)-(i-2)(i-1)i(i+1)\Bigr]
\]

Note: $(i-1)i(i+1)=i(i^2-1)$ 这个形式也出现在 $y^2=x^3+x^2$ 的有理参数化中. (令 $x=t^2-1$, 则 $y=t(t^2-1)$)

代数几何中, 平面三次曲线族 $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ (这里 $\lambda\in\mathbb{R}$) 只有对于 $\lambda=0$ 或 $\lambda=1$ 时能被有理参数化. 

参见 Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》P. 6-7, 例0.5.

References of (3)

James Stewart, Calculus (7th Edition) Appendix E. Exercise 40.

顺便考虑一下 $\sum\limits_{i=1}^{n}i^4$,  $\sum\limits_{i=1}^{n}i^5$ 等等.

已知方程 $\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 中有实根, 确定常数 $k$ 取值范围.

[hint]

本题实际上就是要确定函数 $f(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上的最大最小值.

证明: 方程 $x^3-3x^2+1=0$ 至少有一个小于 1 的正根.

请求出此方程的所有根.

证明: 方程 $x^5-3x^3-1=0$ 至少有一个介于 1 与 2 之间的实根.