设 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负数列, 满足

\[
a_{n+1}\leqslant a_n+\frac{1}{n^2},\quad n=1,2,3,\ldots
\]

证明 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛.

\[
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{1}
\]

\[
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{2}
\]

\[
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{3}
\]

\[
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{4}
\]

和差化积公式可以转换为积化和差公式. 例如, 由 (3) 可推出

\[
\cos\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}\bigl(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr).
\]

Remark:

我们只需要证明 (1), 因为其余的可以由 (1) 推出.

我们这里给出的关于 (1) 的参考证明利用了几何方法.   (这个几何图形是一个很熟悉的直角梯形. 类似的直角梯形在问题2021中也出现过.)

Remark:

如果 (3)-(4), 则得

\[
\cos\beta=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
\]

此时, 若令 $x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$, $y=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$, 则 $x-y=\beta$, 于是得到

\[
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.
\]

证明函数

\[
f(x)=\begin{cases}
x^2, & x \text{为无理数},\\
0, & x \text{为有理数},\\
\end{cases}
\]

仅在 $x=0$ 处有导数.
 

The Lion and The Christian

A lion and a Christian in a closed circular Roman arena have equal maximum speeds. Can the lion catch the Christian in finite time?

一头狮子和一个基督徒在一个封闭的圆形罗马竞技场中，他们具有相同的最大速度。问狮子能否在有限的时间内追到基督徒？

Remark: 这个 Coffee Time 是由孙强(Qiang SUN)发起的, 第一个题目是“狮子与基督徒问题”, 来源于下面的 References 中的 Béla Bollobás 所著之书.

References:

Béla Bollobás (ed.), Littlewood's Miscellany, Cambridge University Press (1986), 200pp.

H. T. Croft, 'Lion and man': a postscript, J. London Math. Soc. 39 (1964), 385--390.

Riemann 函数定义为:

\[
R(x)=\begin{cases}
\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p}\in(0,1)\cap\mathbb{Q},\quad p, q\ \text{为互素正整数},\\
0, & x\ \text{为无理数}.
\end{cases}
\]

证明: Riemann 函数 $R(x)$ 处处不可导.

阅读问题1375

References:

梅加强 编著 《数学分析》Mathematical Analysis,  高等教育出版社. 2011.

设 $f(x)\in C[0,n]$, $n$ 是某个正整数. 函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=f(n)$. 证明存在 $a\in[0,n-1]$, 使得 $f(a)=f(a+1)$.

设 $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续可微函数, 且 $f(0)=0$. 证明

\[
\sup_{0\leqslant x\leqslant 1}|f(x)|\leqslant\sqrt{\int_0^1 (f'(x))^2 dx}.
\]

证明: $(\cos\theta)^p\leqslant\cos(p\theta)$, 这里 $\theta\in[0,2\pi]$, $0 < p <1$.

Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition. (伯克利数学问题集)

Minkowski 不等式

设 $f$ 是 $[a,b]\times[c,d]$ 上的非负连续函数. $p\geqslant 1$. 则有

\[
\biggl(\int_a^b\Bigl(\int_c^d f(x,y)dy\Bigr)^p dx\biggr)^{\frac{1}{p}}\leqslant\int_c^d\Bigl(\int_a^b f^p(x,y)dx\Bigr)^{\frac{1}{p}}dy.
\]

当 $p>1$ 时, 等式成立的充分必要条件是

\[
f(x,y)=u(x)v(y).
\]

利用 Minkowski 不等式, 证明

\[
\biggl(\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)^p\biggr)^{\frac{1}{p}}\leqslant\biggl(\sum_{k=1}^{n}a_k^p\biggr)^{\frac{1}{p}}+\biggl(\sum_{k=1}^{n}b_k^p\biggr)^{\frac{1}{p}}.
\]

[Hint]

令 $f(k,i)=i_k$,  其中 $i=a$ 或 $b$; $k=1,2,\ldots,n$.

可参考 

real analysis - A kind of Minkowski inequality for integral - Mathematics Stack Exchange

证明 $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ 在 $(0,+\infty)$ 上是连续的.