一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动, 其速度大小与其离开洞口的距离成反比. 当其到达距洞口为 $d_1$ 的 $A$ 点时速度为 $v_1$, 若路径上 $B$ 点离洞口的距离为 $d_2$ ($d_2 > d_1$).

求老鼠由 $A$ 点运动到 $B$ 点所需的时间.

Remark:

题目由 David Chen 提供.

>> exp(1)
in> exp(1)
out> 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101902

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设 $f(x)\in C[a,b]$, 求证: $f(x)$ 是凸的当且仅当

\[
f(x)\leqslant\frac{1}{2h}\int_{-h}^{h}f(x+t)dt
\]

对 $\forall\ [x-h,x+h]\subset[a,b]$ 成立.

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $f(a)=f(b)$. 证明: 一定存在长度为 $\frac{b-a}{2}$ 的区间 $[\lambda,\mu]\subset[a,b]$, 使得 $f(\lambda)=f(\mu)$.
 

设 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负数列, 满足

\[
a_{n+1}\leqslant a_n+\frac{1}{n^2},\quad n=1,2,3,\ldots
\]

证明 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛.

\[
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{1}
\]

\[
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{2}
\]

\[
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{3}
\]

\[
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\tag{4}
\]

和差化积公式可以转换为积化和差公式. 例如, 由 (3) 可推出

\[
\cos\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}\bigl(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr).
\]

Remark:

我们只需要证明 (1), 因为其余的可以由 (1) 推出.

我们这里给出的关于 (1) 的参考证明利用了几何方法.   (这个几何图形是一个很熟悉的直角梯形. 类似的直角梯形在问题2021中也出现过.)

Remark:

如果 (3)-(4), 则得

\[
\cos\beta=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}
\]

此时, 若令 $x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$, $y=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$, 则 $x-y=\beta$, 于是得到

\[
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.
\]

证明函数

\[
f(x)=\begin{cases}
x^2, & x \text{为无理数},\\
0, & x \text{为有理数},\\
\end{cases}
\]

仅在 $x=0$ 处有导数.
 

The Lion and The Christian

A lion and a Christian in a closed circular Roman arena have equal maximum speeds. Can the lion catch the Christian in finite time?

一头狮子和一个基督徒在一个封闭的圆形罗马竞技场中，他们具有相同的最大速度。问狮子能否在有限的时间内追到基督徒？

Remark: 这个 Coffee Time 是由孙强(Qiang SUN)发起的, 第一个题目是“狮子与基督徒问题”, 来源于下面的 References 中的 Béla Bollobás 所著之书.

References:

Béla Bollobás (ed.), Littlewood's Miscellany, Cambridge University Press (1986), 200pp.

H. T. Croft, 'Lion and man': a postscript, J. London Math. Soc. 39 (1964), 385--390.

Riemann 函数定义为:

\[
R(x)=\begin{cases}
\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p}\in(0,1)\cap\mathbb{Q},\quad p, q\ \text{为互素正整数},\\
0, & x\ \text{为无理数}.
\end{cases}
\]

证明: Riemann 函数 $R(x)$ 处处不可导.

阅读问题1375

References:

梅加强 编著 《数学分析》Mathematical Analysis,  高等教育出版社. 2011.

设 $f(x)\in C[0,n]$, $n$ 是某个正整数. 函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=f(n)$. 证明存在 $a\in[0,n-1]$, 使得 $f(a)=f(a+1)$.