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证明黎曼函数(或 Thomae 函数)在无理点处连续, 在有理点处不连续.

Posted by haifeng on 2014-09-23 20:32:34 last update 2015-02-07 09:43:42 | Answers (1) | 收藏


黎曼函数或称 Thomae 函数是指下面定义的函数:

\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{q}, & \text{若}\ x\ \text{是有理数, 且等于既约分数}\ \frac{p}{q},\ \text{其中}\ q>0,\\
0, & \text{若}\ x\ \text{是无理数}.
\end{cases}
\]


注意到对任意整数 $n$, 有 $f(n)=1$.

证明黎曼函数处处不可微.

 


References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function

http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX704/gksx704029.caj.pdf