问题

黎曼函数或称 Thomae 函数是指下面定义的函数:

\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{q}, & \text{若}\ x\ \text{是有理数, 且等于既约分数}\ \frac{p}{q},\ \text{其中}\ q>0,\\
0, & \text{若}\ x\ \text{是无理数}.
\end{cases}
\]

注意到对任意整数 $n$, 有 $f(n)=1$.

证明黎曼函数处处不可微.

References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function

http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX704/gksx704029.caj.pdf