黎曼函数或称 Thomae 函数是指下面定义的函数:
\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{q}, & \text{若}\ x\ \text{是有理数, 且等于既约分数}\ \frac{p}{q},\ \text{其中}\ q>0,\\
0, & \text{若}\ x\ \text{是无理数}.
\end{cases}
\]
注意到对任意整数 $n$, 有 $f(n)=1$.
证明黎曼函数处处不可微.
References:
http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function
http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX704/gksx704029.caj.pdf
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若只考虑区间 $(0,1)$ 上的函数图像. 则可以这样设想, 将 $(0,1)$ 上的有理点往上浮动, 每个有理点 $\frac{p}{q}$ (为既约分数) 能够浮动 $\frac{1}{q}$.
因此, 如果函数 $f$ 在有理点连续, 比如对于点 $x=\frac{p}{q}$, 任给 $\varepsilon>0$, 都存在 $\delta>0$, 对于任意 $x'=\frac{p'}{q'}\in(x-\delta,x+\delta)$, 都有 $|\frac{1}{q'}-\frac{1}{q}|<\varepsilon$. 而这是无法做到的, 除非 $q'=q$. 但要使得 $x'\in(x-\delta,x+\delta)$, $\delta$ 充分小, 则必有 $p'=p$, 这样 $x'=x$.
下面我们证明 $f(x)$ 在无理数点处是连续的.
设 $x$ 是无理数, 所以 $f(x)=0$. 任给 $\varepsilon>0$ (我们可以不妨设 $\varepsilon$ 为有理数, 否则如果是无理数, 我们总可以取一个比之更小的有理数.) 要证存在 $\delta>0$, 使得当 $x'\in(x-\delta,x+\delta)$ 时, 都有
\[|f(x')-0|<\varepsilon.\]
注意到 $f$ 在每个整数点都取值为 1. 对于 $x$, 考虑区间 $(\lfloor x\rfloor, \lceil x\rceil)$. 不妨设 $\varepsilon=\frac{a}{b}$.
对于取值大于 $\varepsilon$ 的那些点 $x'$, 比如既约分数 $x'=\frac{a'}{b'}$, 即 $\frac{1}{b'}>\frac{a}{b}$, 则推出 $b'<b$. 而两个整数之间, 分母不大于 $b$ 的有理数的函数值是有限个.
因此, 只要将 $\delta$ 取得更小一点, 就可以使得对于任意的 $x'\in(x-\delta,x+\delta)$ 有 $|f(x)-0|<\varepsilon$.
因此, 函数 $f$ 在任意无理数点都是连续的.