问题及解答

设 $f(x)\in C[0,n]$, $n$ 是某个正整数. 函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=f(n)$. 证明存在 $a\in[0,n-1]$, 使得 $f(a)=f(a+1)$.

（法一）[用拓扑的方法]

记 $g(x)=f(x+1)-f(x)$, $x\in[0,n-1]$. 则 $g(x)$ 是 $[0,n-1]$ 上的连续函数. 令

\[
S^+=\{x\in[0,n]\mid g(x) > 0\},\quad S^-=\{x\in[0,n]\mid g(x) < 0\}.
\]

则 $S^+$ 和 $S^-$ 都是 $[0,n]$ 中的开集. (注意, $[0,n]$ 中的开集形如 $\emptyset$, $[c,d)$, $(c,d]$ 或 $(c,d)$.)

若找不到 $a\in[0,n-1]$, 使得 $f(a)=f(a+1)$, 则 $[0,n]=S^+\cup S^-$, 显然这是不可能的.

故必存在某个 $a\in[0,n-1]$, 使得 $f(a)=f(a+1)$.

（法二）[更简单的证法]

记 $g(x)=f(x+1)-f(x)$, $x\in[0,n-1]$. 则 $g(x)$ 是 $[0,n-1]$ 上的连续函数.

\[
\begin{aligned}
g(0)&=f(1)-f(0),\\
g(1)&=f(2)-f(1),\\
&\vdots\\
g(n-1)&=f(n)-f(n-1).\\
\end{aligned}
\]

将这 $n-1$ 个等式相加, 得到 $\sum\limits_{i=0}^{n-1}g(i)=f(n)-f(0)=0$.

若某个 $i_0$ 使得 $g(i_0)=0$, 则 $f(i_0+1)=f(i_0)$.

假设 $g(i)\neq 0$, $\forall\ i=0,1,2,\ldots,n-1$. 则存在 $j$ 和 $k$, 使得 $g(j) < 0 < g(k)$. 于是由介值定理, 知存在某个 $a\in[j,k]$ (或 $[k,j]$), 使得 $g(a)=0$. 即有 $f(a+1)=f(a)$. 证毕.