设函数 $f(x)\in C([a,b])$, 且 $a < x_1 < x_2 < b$, 证明: 至少存在一点 $\xi\in[x_1,x_2]$, 使得

\[f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.\]

一般的, 若 $a< x_1 <x_2 <\cdots < x_n < b$, $n\geqslant 2$, 则存在 $\xi\in[x_1,x_n]$, 使得

\[
f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}.
\]

若 $\theta$ 满足 $n\theta=2\pi$, $n\geqslant 2$, 则 $\sum_{k=1}^{n}\cos(k\theta)=0$, 即

\[
\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)+\cdots+\cos(n\theta)=0.\tag{1}
\]

对于 $\sin$, 结论更显然.

\[
\sin\theta+\sin(2\theta)+\sin(3\theta)+\cdots+\sin(n\theta)=0.\tag{2}
\]

将坐标系转动某个角度, 等式是否仍成立? 也可以表述如下:

\[
\cos(\theta+\delta)+\cos(2\theta+\delta)+\cos(3\theta+\delta)+\cdots+\cos(n\theta+\delta)=0\ ?
\]

要求: 不使用下面的公式

\[
\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)+\cdots+\cos(n\theta)=\frac{\sin\frac{n}{2}\theta\cdot\cos\frac{n+1}{2}\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\tag{*}
\]

(1) 和 (2), 更一般的, 写为

\[
\sum_{x=1}^{q}e_q(hx)=\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i hx/q}=0,\qquad(\text{当} q\nmid h)
\]

参见问题2791

例如 若 $3\theta=2\pi$, 则

\[
\begin{split}
&\cos\theta+\cos(2\theta)+\cos(3\theta)\\
=&\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3}+\cos\frac{6\pi}{3}\\
=&-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\\
=&0.
\end{split}
\]

(关于 $\cos 3\theta$ 的展开, 可参见问题2398 )

还可以由此求一些特殊角的余弦值, 例如 $\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

若抛物线 $y=ax^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 相切, 求 $a$ 的值.

[分析] 若 $a < 0$, 则抛物线开口向下, 不可能与对数曲线 $y=\ln x$ 相切. 故这里推出 $a > 0$.

试确定常数 $a,b$, 使函数

\[f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x^2 e^{n(x-1)}+ax+b}{e^{n(x-1)}+1}\]

在 $x=1$ 处可导.

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导. 过 $A=(0,f(0))$ 与 $B=(1,f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C=(c,f(c))$, 其中 $c\in(0,1)$. 

证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f''(\xi)=0$.

设函数 $f(x)$ 对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ 都满足: $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f'(0)=1$. 证明: $f'(x)=f(x)$. 事实上, $f(x)=e^x$.

Q. 单由 $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$, 能推出 $f(x)$ 满足什么性质?

类似问题有
问题3012

对任意实数 $a,b$, 证明: $a^n-b^n$ 有因式 $a-b$. 具体的,

\[
\begin{split}
a^n-b^n&=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^2 b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})\\
&=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^i b^{n-1-i}
\end{split}
\]

证明 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ($n > 1$) 及 $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n+1}$ ($n\geqslant 1$) 都不是整数.

相关问题

问题1715

对于正数 $a,b,c,d$, 若 $\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$, 则推出

\[\frac{a}{c} < \frac{a+b}{c+d} < \frac{b}{d}.\]

Remark:

证明是显然的.

这个结论通常用于 Farey 序列,  问题2625的证明也用到了这个结论.

Claim.  设正数 $a,b,c,d$ 满足 $a+c > \frac{1}{2}$, $b+d < \frac{1}{2}$. 则存在 $a,c$ 使得 $ac>bd$.