Claim.  设正数 $a,b,c,d$ 满足 $a+c > \frac{1}{2}$, $b+d < \frac{1}{2}$. 则存在 $a,c$ 使得 $ac>bd$.

设 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的连续函数, 在 $(0,1)$ 上可导, 且导数的绝对值不超过 1. 又假设 $f(0)=f(1)=0$, 证明: 对任意 $x_1,x_2\in[0,1]$, 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant\frac{1}{2}$.

P.145  习题 3.6

3.  作出下列函数的图形.

(4)    $y=e^{-\frac{(x-1)^2}{2}}$

[Hint] 我们只需研究函数 $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$, 所要讨论函数是由 $f(x)$ 向右平移 1 个单位得到的.

P. 139  习题 3.5

1.  求下列曲线的凹凸区间与拐点.

(2)    $y=\ln(x^2+1)$

P. 135  习题 3.4

1.  确定下列函数的单调区间.

(3)    $y=\frac{8}{3}x^3-\ln x$

5.  求下列函数的极值.

(6)    $y=\cos x+\sin x$,     $x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

7.  求下列函数的最大值或最小值, 如果都存在, 均求出.

(2)    $y=|x^2-3x+2|$,    $x\in[-3,4]$

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上连续, 且有唯一的极值点. 证明此极值点就是最值点.

Remark:

(1) 将区间改为 $[a,b]$ 或半开半闭区间, 命题也成立.

(2) 连续性的条件不能少. 反例如下:

\[
f(x)=\begin{cases}
|x|, & x\in(-1,0)\cup(0,1)\\
\frac{1}{2}, & x=0
\end{cases}
\]

此 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上无最大值也无最小值, 但有一个极值点 $x=0$.

P. 125  习题 3.3

4.  求函数 $f(x)=\arcsin x$ 的带有拉格朗日(Lagrange)余项的三阶麦克劳林(MacLaurin)展开式.

6.  求函数 $f(x)=xe^x$ 的带有皮亚诺(Peano)余项的 $n$ 阶麦克劳林展开式.

9.  利用麦克劳林公式求下列极限:

(1)    $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x \sin x-x(1+x)}{x^2 \sin x}$

证明 $e$ 是无理数.

这里 $e$ 指

\[
e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots
\]

用反证法证明.

References:

梅加强,  《数学分析》

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上三阶连续可导, 且满足 $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f'(\frac{1}{2})=0$. 

证明: 存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $f'''(\xi)=24$.

证明: 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$ 时, 有 $\frac{2}{\pi}\leqslant\frac{\sin x}{x}$.

[Hint] 考虑 $\varphi(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x\in(0,\frac{\pi}{2}],\\ 1, & x=0\end{cases}$.

由于 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$, 故 $\varphi(x)$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上连续.