问题及解答

设函数 $f(x)\in C([a,b])$, 且 $a < x_1 < x_2 < b$, 证明: 至少存在一点 $\xi\in[x_1,x_2]$, 使得

\[f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.\]

Pf. $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 则在子集 $[x_1,x_2]$ 上也连续. 不妨分别记 $M$ 和 $m$ 分别为 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上的最大最小值. 于是

\[
m\leqslant\min\{f(x_1),f(x_2)\}\leqslant\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\leqslant\max\{f(x_1),f(x_2)\}\leqslant M.
\]

由介值定理, 知存在 $\xi\in[x_1,x_2]$, 使得

\[
f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.
\]