设函数 $f(x)\in C([a,b])$, 且 $a < x_1 < x_2 < b$, 证明: 至少存在一点 $\xi\in[x_1,x_2]$, 使得
\[f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.\]
一般的, 若 $a< x_1 <x_2 <\cdots < x_n < b$, $n\geqslant 2$, 则存在 $\xi\in[x_1,x_n]$, 使得
\[
f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}.
\]
1
Pf. $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 则在子集 $[x_1,x_2]$ 上也连续. 不妨分别记 $M$ 和 $m$ 分别为 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上的最大最小值. 于是
\[
m\leqslant\min\{f(x_1),f(x_2)\}\leqslant\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\leqslant\max\{f(x_1),f(x_2)\}\leqslant M.
\]
由介值定理, 知存在 $\xi\in[x_1,x_2]$, 使得
\[
f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.
\]
2
(2) 假设 $f(x_{i_1})=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\{f(x_i)\}$, $f(x_{i_2})=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\{f(x_i)\}$. 则
\[
f(x_{i_1})\leqslant\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\leqslant f(x_{i_2}),
\]
如果 $f(x_{i_1})=f(x_{i_2})$, 则取 $\xi$ 为 $\{x_1,x_2,\ldots, x_n\}$ 中任一个即可. 下设 $f(x_{i_1}) < f(x_{i_2})$, 函数 $f$ 在 $[x_{i_1}, x_{i_2}]$ (或$[x_{i_2}, x_{i_1}]$) 上连续, 应用介值定理, 得存在 $\xi\in[x_{i_1}, x_{i_2}]$ (或 $\xi\in[x_{i_2}, x_{i_1}]$), 使得
\[f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}.\]
3
(2) (证法二, 使用零值定理证明)
考虑函数
\[
\begin{split}
g(x)=nf(x)-(f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n))\\
&=[f(x)-f(x_1)]+[f(x)-f(x_2)]+\cdots+[f(x)-f(x_n)],
\end{split}
\]
这里 $x\in[a,b]$. 于是
\[
\begin{aligned}
g(x_1)&=[f(x_1)-f(x_1)]+[f(x_1)-f(x_2)]+[f(x_1)-f(x_3)]+\cdots+[f(x_1)-f(x_n)],\\
g(x_2)&=[f(x_2)-f(x_1)]+[f(x_2)-f(x_2)]+[f(x_2)-f(x_3)]+\cdots+[f(x_2)-f(x_n)],\\
g(x_3)&=[f(x_3)-f(x_1)]+[f(x_3)-f(x_2)]+[f(x_3)-f(x_3)]+\cdots+[f(x_3)-f(x_n)],\\
&\vdots\\
g(x_n)&=[f(x_n)-f(x_1)]+[f(x_n)-f(x_2)]+[f(x_n)-f(x_3)]+\cdots+[f(x_n)-f(x_n)].\\
\end{aligned}
\]
将这 $n$ 个式子相加, 得
\[
g(x_1)+g(x_2)+\cdots+g(x_n)=0.\tag{*}
\]
如果存在某个 $i_0$, 使得 $g(x_{i_0})=0$, 则
\[
f(x_{i_0})=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n},
\]
取 $\xi=x_{i_0}$ 即可.
若 $g(x_i)\neq 0$, $\forall\ i=1,2,\ldots,n$. 由 (*) 式, 存在 $x_{i_1} < x_{i_2}$, 使得
\[
g(x_{i_1})\cdot g(x_{i_2}) < 0,
\]
故存在 $\xi\in(x_{i_1},x_{i_2})$, 使得 $g(\xi)=0$, 即
\[
f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}.
\]