问题及解答

若抛物线 $y=ax^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 相切, 求 $a$ 的值.

[分析] 若 $a < 0$, 则抛物线开口向下, 不可能与对数曲线 $y=\ln x$ 相切. 故这里推出 $a > 0$.

假设两曲线相切于 $(x_0,y_0)$ 这一点. 我们求这一点处切线的斜率.

对于抛物线 $y=ax^2$, $y'=2ax$. 于是 $y'(x_0)=2ax_0$. 

对于对数曲线 $y=\ln x$, $y'=\frac{1}{x}$. 于是 $y'(x_0)=\frac{1}{x_0}$.  因此 $2ax_0=\frac{1}{x_0}$. 此推出 $x_0^2=\frac{1}{2a}$. 由于 $x_0 > 0$, 故 $x_0=\frac{1}{\sqrt{2a}}$.

\[y_0=ax_0^2=a\cdot(\frac{1}{\sqrt{2a}})^2=\frac{1}{2}.\]

另一方面, $y_0=\ln x_0=\ln\frac{1}{\sqrt{2a}}$. 于是

\[\frac{1}{2}=\ln\frac{1}{\sqrt{2a}}\]

推出 $a=\dfrac{1}{2e}$.