计算下列积分

(1)  $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 5}\sum_{n=1}^{\infty}ne^{-nx}\mathrm{d}x$.

(2)  $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^2(nx)}{n(n+1)}\mathrm{d}x$.

证明: $\dfrac{1}{\sin^2 x}=\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\dfrac{1}{(x+k\pi)^2}$, $\forall\ x\neq k\pi$. 该级数在任何不包含 $\{k\pi\}$ 的闭区间上都是一致收敛的. 该级数也可改写为
\[
\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{1}{x^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{1}{(x+n\pi)^2}+\frac{1}{(x-n\pi)^2}\Bigr],\quad x\neq k\pi.
\]

特别地, 令 $x\rightarrow 0$, 得
\[
\frac{1}{3}=\lim_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{x^2}\Bigr)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n\pi)^2},
\]\pause
由此推出
\[
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.
\]

参考 [1] P.319--320.

References:

[1] 梅加强 编著 《数学分析》.

证明: $x\neq 2k\pi$ 时,

\[
\sum\limits_{k=1}^{n}\sin kx=\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx=\dfrac{\cos\frac{1}{2}x-\cos\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}
\]

令 $f(x)=\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^x$, $x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$,

证明 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,+\infty)$ 上都是严格单调递增的.

用数学归纳法证明 Bernoulli 不等式

\[
(1+x)^n\geqslant 1+nx,\quad (x\geqslant -1).
\]

对 $x=-\frac{1}{(1+n)^2}$ 应用 Bernoulli 不等式说明 $a_n=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n$ 的严格单调性.

参见 [1] 习题 2.2, 8

[1] 梅加强 著 《数学分析》

设 $b_k > 0$ $(1\leqslant k\leqslant n)$, 且

\[m\leqslant\frac{a_k}{b_k}\leqslant M,\quad\forall 1\leqslant k\leqslant n,\]

则有

\[m\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leqslant M .\]

见 [1] 引理 2.4.1.   此引理用于证明 Stolz 公式.  当然, 作为 Stolz 公式的特殊情形, 下面这个问题3345也可以直接用此引理证明.

Exer.  设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=A$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$.

References:

[1] 梅加强  著 《数学分析》

设 $0 < a < b$, 证明 

\[\ln b-\ln a > \frac{2(b-a)}{b+a}.\]

证明:

\[\ln(2n+1) > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}.\]

设 $\frac{x_1}{e^{x_1}}=\frac{x_2}{e^{x_2}}$, 证明 $x_1+x_2 > 2$.

找一个多项式 $P(x)$, 使得当 $k$ 为任意正整数时均有 $P(k+1)-P(k)=k^2$. 利用它求 $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$.

尝试:

\[
(k+\frac{1}{2})^3-(k-\frac{1}{2})^3=\bigl[k^3+3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\bigr]-\bigl[k^3-3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\bigr]=3k^2+\frac{1}{4}.
\]

注: 猜不一定能猜出来, 还是用待定系数法吧.

题目来自[1] 习题1.1, P.3

[1] 梅加强 编著 《数学分析》第二版