问题及解答

设 $b_k > 0$ $(1\leqslant k\leqslant n)$, 且

\[m\leqslant\frac{a_k}{b_k}\leqslant M,\quad\forall 1\leqslant k\leqslant n,\]

则有

\[m\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leqslant M .\]

见 [1] 引理 2.4.1.   此引理用于证明 Stolz 公式.  当然, 作为 Stolz 公式的特殊情形, 下面这个问题3345也可以直接用此引理证明.

Exer.  设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=A$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n}=A$.

References:

[1] 梅加强  著 《数学分析》

Pf.  由条件, $mb_k\leqslant a_k\leqslant Mb_k$, $1\leqslant k\leqslant n$. 写出这 $n$ 个不等式,

\[
\begin{aligned}
mb_1\leqslant a_1\leqslant Mb_1,\\
mb_2\leqslant a_2\leqslant Mb_2,\\
\vdots\\
mb_n\leqslant a_n\leqslant Mb_n
\end{aligned}
\]

并相加, 得

\[
m(b_1+b_2+\cdots+b_n)\leqslant(a_1+a_2+\cdots+a_n)\leqslant M(b_1+b_2+\cdots+b_n),
\]

又诸 $b_k$ 均大于零, 故有

\[
m\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leqslant M.
\]