用数学归纳法证明 Bernoulli 不等式
\[
(1+x)^n\geqslant 1+nx,\quad (x\geqslant -1).
\]
对 $x=-\frac{1}{(1+n)^2}$ 应用 Bernoulli 不等式说明 $a_n=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n$ 的严格单调性.
参见 [1] 习题 2.2, 8
[1] 梅加强 著 《数学分析》
1
$n=1, 2$ 时, 不等式显然成立. 假设 Bernoulli 不等式对于 $n=k$ 成立, 即对于 $x\geqslant -1$, 有
\[
(1+x)^k\geqslant 1+kx.
\]
当 $n=k+1$ 时,
\[
(1+x)^{k+1}=(1+x)(1+x)^k\geqslant (1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx^2\geqslant 1+(k+1)x.
\]
因此, Bernoulli 不等式对于任意正整数 $n$ 都成立.
2
$a_n=(1+\frac{1}{n})^n$, 于是 $a_n < a_{n+1}$ 等价于
\[
\begin{aligned}
&(1+\frac{1}{n})^n < (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\\
\Leftrightarrow\ &\frac{(n+1)^n}{n^n} < \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\\
\Leftrightarrow\ &(n+1)^{2n+1} < n^n (n+2)^n\cdot(n+2) \quad (*)
\end{aligned}
\]
另一方面, 根据 Bernoulli 不等式, 对于 $x=-\frac{1}{(1+n)^2}$, 有
\[
\biggl(1-\frac{1}{(1+n)^2}\biggr)^n\geqslant 1-\frac{n}{(1+n)^2}.
\]
这等价于
\[
\begin{aligned}
&\biggl(\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}\biggr)^n\geqslant\frac{n^2+n+1}{(n+1)^2}\\
\Leftrightarrow\ &\frac{(n^2+2n)^n}{(n+1)^{2n}}\geqslant\frac{n^2+n+1}{(n+1)^2}\\
\Leftrightarrow\ &(n^2+2n)^n\geqslant(n^2+n+1)(n+1)^{2n-2}
\end{aligned}
\]
因此,
\[
\begin{split}
(n+1)^{2n+1}&=(n+1)^{2n-2}\cdot(n+1)^3\\
&< \frac{(n^2+2n)^n}{n^2+n+1}\cdot(n+1)^3\\
&< (n^2+2n)^n\cdot(n+2),
\end{split}
\]
此即推出 $(*)$ 式成立, 故 $a_n < a_{n+1}$.