设 $f(x)=e^x+ax^2-x$, $g(x)=\frac{1}{2}x^3+1$, 若 $f(x)\geqslant g(x)$ 对所有 $x\in[0,+\infty)$ 都成立, 求常数 $a$ 的范围. (这里 $a$ 是实数.)

[Hint] 有 $e^x$ 和多项式在一起的情况, 当求导时, 尽量让两者分开.

证明: $\cos x < \frac{1}{x}$, $\forall\ x\in(0,\frac{\pi}{2})$.

证明: 当 $x > 0$ 时,

\[e^{\frac{x}{x+1}} < (1+\frac{1}{x})^x < e.\]

证明: 当 $x > 1$ 时,

\[\frac{\pi}{4} < x(\frac{\pi}{2}-\arctan x) < 1.\]

设函数 $f(x)$ 定义在 $(0,+\infty)$ 上, 对任意 $x_1,x_2\in(0,+\infty)$, 有 $f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)$, 且 $f'(1)=1$, 证明: $f(x)=\ln x$.

这个问题类似于 问题2634.

设 $f(x)$ 为可导函数, 求下列函数的导数.

\[
y=\sin(f(x))\cdot f(\sin x)
\]

求下面函数的导数

\[
y=\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}
\]

设 $f(x)=a_1\sin x+a_2\sin 2x+\cdots+a_n\sin nx$, 且 $|f(x)|\leqslant |\sin x|$, 证明:

\[|a_1+2a_2+\cdots+na_n|\leqslant 1.\]

利用导数定义证明 $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

利用导数定义证明 $(\tan x)'=\sec^2 x$.

注意不使用导数的四则运算法则 $(\frac{u(x)}{v(x)})'=\frac{u'(x)v(v)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$