Questions in category: 导数及微分 (Derivatives and differentials)
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1. 利用隐函数存在定理求解偏导数.

Posted by haifeng on 2024-03-26 09:42:18 last update 2024-03-26 09:42:52 | Answers (1) | 收藏


例.  设二元隐函数 $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$ 由方程组

\[
\begin{cases}
2x=v^2-u^2,\\
y=uv,
\end{cases}
\]

确定, 求 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y}$, $\dfrac{\partial v}{\partial x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$.

2. 设 $f(x)=e^x+ax^2-x$, $g(x)=\frac{1}{2}x^3+1$, 若 $f(x)\geqslant g(x)$ 对所有 $x\in[0,+\infty)$ 都成立, 求常数 $a$ 的范围.

Posted by haifeng on 2023-02-26 23:14:46 last update 2023-02-26 23:19:01 | Answers (0) | 收藏


设 $f(x)=e^x+ax^2-x$, $g(x)=\frac{1}{2}x^3+1$, 若 $f(x)\geqslant g(x)$ 对所有 $x\in[0,+\infty)$ 都成立, 求常数 $a$ 的范围. (这里 $a$ 是实数.)

 

 

[Hint] 有 $e^x$ 和多项式在一起的情况, 当求导时, 尽量让两者分开.

3. 证明: $\cos x < \frac{1}{x}$, $\forall\ x\in(0,\frac{\pi}{2})$.

Posted by haifeng on 2022-11-10 13:22:39 last update 2022-11-10 13:22:54 | Answers (0) | 收藏


证明: $\cos x < \frac{1}{x}$, $\forall\ x\in(0,\frac{\pi}{2})$.

4. 证明: 当 $x > 0$ 时, $e^{\frac{x}{x+1}} < (1+\frac{1}{x})^x < e$.

Posted by haifeng on 2022-11-10 13:21:28 last update 2022-11-10 13:21:28 | Answers (1) | 收藏


证明: 当 $x > 0$ 时,

\[e^{\frac{x}{x+1}} < (1+\frac{1}{x})^x < e.\]

5. 证明: 当 $x > 1$ 时, $\frac{\pi}{4} < x(\frac{\pi}{2}-\arctan x) < 1$.

Posted by haifeng on 2022-11-10 12:38:42 last update 2022-11-10 12:38:42 | Answers (1) | 收藏


证明: 当 $x > 1$ 时,

\[\frac{\pi}{4} < x(\frac{\pi}{2}-\arctan x) < 1.\]

6. 设函数 $f(x)$ 定义在 $(0,+\infty)$ 上, 对任意 $x_1,x_2\in(0,+\infty)$, 有 $f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)$, 且 $f'(1)=1$, 证明: $f(x)=\ln x$.

Posted by haifeng on 2022-10-13 20:49:00 last update 2022-10-13 20:49:00 | Answers (1) | 收藏


设函数 $f(x)$ 定义在 $(0,+\infty)$ 上, 对任意 $x_1,x_2\in(0,+\infty)$, 有 $f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)$, 且 $f'(1)=1$, 证明: $f(x)=\ln x$.

 

这个问题类似于 问题2634.

7. 设 $f(x)$ 为可导函数, 求下列函数的导数.

Posted by haifeng on 2022-10-06 11:40:35 last update 2022-10-06 11:40:35 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x)$ 为可导函数, 求下列函数的导数.

\[
y=\sin(f(x))\cdot f(\sin x)
\]

8. 求函数 $y=\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}$ 的导数.

Posted by haifeng on 2022-10-06 11:39:06 last update 2022-10-06 11:39:06 | Answers (1) | 收藏


求下面函数的导数

\[
y=\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}
\]

 

9. 设 $f(x)=a_1\sin x+a_2\sin 2x+\cdots+a_n\sin nx$, 且 $|f(x)|\leqslant |\sin x|$, 证明: $|a_1+2a_2+\cdots+na_n|\leqslant 1$.

Posted by haifeng on 2022-10-01 23:25:15 last update 2022-10-01 23:25:15 | Answers (0) | 收藏


设 $f(x)=a_1\sin x+a_2\sin 2x+\cdots+a_n\sin nx$, 且 $|f(x)|\leqslant |\sin x|$, 证明:

\[|a_1+2a_2+\cdots+na_n|\leqslant 1.\]

10. 利用导数定义证明 $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Posted by haifeng on 2022-09-30 14:06:18 last update 2022-09-30 14:06:18 | Answers (1) | 收藏


利用导数定义证明 $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

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