设函数 $f(x)$ 定义在 $(0,+\infty)$ 上, 对任意 $x_1,x_2\in(0,+\infty)$, 有 $f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2)$, 且 $f'(1)=1$, 证明: $f(x)=\ln x$.
这个问题类似于 问题2634.
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根据条件, 容易推出 $f(1)=0$. 然后利用导数的定义求出 $f'(x)=\frac{1}{x}$ 即完成证明.
$f(1\cdot 1)=f(1)+f(1)$, 故 $f(1)=0$. 于是, 对 $x > 0$,
\[
\begin{split}
f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\bigl(x\cdot(1+\frac{h}{x})\bigr)-f(x)}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x)+f(1+\frac{h}{x})-f(x)}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+\frac{h}{x})-f(1)}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}\\
&=f'(1)\cdot\frac{1}{x}\\
&=\frac{1}{x}
\end{split}
\]
因此, 由 New-Leibniz 公式, 得
\[
f(x)=f(1)+\int_1^x f'(t)\mathrm{d}t=0+\int_1^x \frac{1}{t}\mathrm{d}t=\ln x.
\]