写出 $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$ 的麦克劳林(MacLaurin)展开式.

求 $f(x)=e^x \sin x$ 和 $g(x)=e^x \cos x$的高阶导数.

求 $f(x)=xe^x$ 的高阶导数.

一般的, 求 $f_m(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$ 的高阶导数.

求函数 $y=\arctan\frac{x+1}{x-1}$ 的高阶导数.

求 $y=\sin\sqrt{2x+1}$ 的高阶导数.

求 $y=\arcsin x$ 的高阶导数.

验证其满足等式 $xy'=(1-x^2)y''$, 并求 $y^{(n)}(0)$.

References:

梅加强, 《数学分析》 P.129, Exer 4.2 (10)

设 $f(x)=\arctan x$, 求 $f^{(n)}(x)$.  (参见[1] 例4.2.10)

解: 记 $y=\arctan x$, 则 $x=\tan y$, 从而

\[
y'=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2 y=\cos y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})
\]

两边对 $x$ 求导, 得

\[
\begin{split}
y''&=y'\cdot\big[-\sin y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})+\cos y\cdot\cos(y+\frac{\pi}{2})\big]\\
&=\cos^2 y\cdot\cos(2y+\pi)\\
&=\cos^2 y\cdot\sin 2(y+\frac{\pi}{2})
\end{split}
\]

继续对 $x$ 求导, 用归纳法可以发现,

\[
f^{(n)}(x)=y^{(n)}=(n-1)!\cos^n y\cdot\sin n(y+\frac{\pi}{2}).
\]

请完成证明.

References:

[1] 梅加强, 《数学分析》 高等教育出版社

$y=\tan x$ 的高阶导数都可以表示为 $\tan x$ 的多项式.

证明: $(\tan x)^{(n)}$ 中最高次 $\tan^{n+1}x$ 前面得系数是 $n!$.

例如:

\[y'=(\tan x)'=\sec^2 x=1+\tan^2 x\]

\[
\begin{split}
y''=(\sec^2 x)'&=2\sec x\cdot(\sec x)'=2\sec x\cdot\sec x\tan x\\
&=2\sec^2 x\tan x=2(1+\tan^2 x)\tan x\\
&=2\tan^3 x+2\tan x=2\tan x\cdot(1+\tan^2 x)
\end{split}
\]

求 $y^{(n)}(0)$

[Hint] 利用 $y'=(\tan x)'=\sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$ 得 $y'\cdot\cos^2 x=1$. 然后两边再求 $n$ 阶导数, 利用 Leibniz 求导法则.

设

\[
f(x)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x}},& x > 0,\\
0, & x\leq 0.
\end{cases}
\]

容易证明, $f$ 是一光滑函数, 并且在 $0$ 处的任意阶导数均为零. 更多的结果如下:

定理(Dan Henry):

(1) $|f^{(n)}(x)|\leq 2^n (n!)^2$, 对所有的 $x$ 和 $n$.

(2) 若 $0 < \varepsilon\leq 1$, 则
\[\frac{2}{1+\varepsilon}e^{\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}}=2-\delta < 2,\]

且对所有满足 $|x-\frac{1}{2n}|\geq\frac{\varepsilon}{2n}$ 的 $x$, 有

\[
|f^{(n)}(x)|\leq (2-\delta)^n (n!)^2
\]

(3) 当 $n\rightarrow\infty$ 时,
\[
f^{(n)}(\frac{1}{2n})=\frac{2^n (n!)^2}{n\pi}\bigl[\cos(\frac{\pi}{4}+n(1-\frac{\pi}{2}))+O(\frac{1}{n})\bigr]
\]

因此,

\[
\sup_{n,x}\biggl(\frac{|f^{(n)}(x)|}{(n!)^2}\biggr)^{\frac{1}{n}}=\limsup_{n\rightarrow\infty}\biggl(\frac{|f^{(n)}(\frac{1}{2n})|}{(n!)^2}\biggr)^{\frac{1}{n}}=2.
\]

References:

http://www.ime.usp.br/map/dhenry/danhenry/pdf/0021.pdf

Dan Henry 的手稿