设曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

\[
\begin{cases}
x=\varphi(t),\\
y=\psi(t),
\end{cases}
\]

其中 $t\in[\alpha,\beta]$. $\varphi(t)$, $\psi(t)$ 二阶可导. 且 $\dot{\varphi}(t)=\varphi'(t)\neq 0$.

证明:

\[
\frac{d^2 y}{dx^2}=\frac{\ddot{\psi}\dot{\varphi}-\dot{\psi}\ddot{\varphi}}{\dot{\varphi}^3}.
\]

\[
(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n}{2}\pi)=\cos(x+\frac{n-1}{2}\pi).
\]

注意: $\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$, 即 $\sin x$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 得到 $\cos x$.

设 $y=f(x)$ 具有反函数, 其反函数为 $g(x)$. 并且 $g$ 二阶可导, 且满足 $(g'(x))^2=g''(x)$, 证明 $f''(x)+f(x)=0$.

已知函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f'(x)-2}{x}=2$, 求 $\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}y^2}\biggr|_{x=0}$.

Remark: 注意这里求 $x$ 对 $y$ 的二阶导数在 $x=0$ 的值.

设 $f(x)=(x^3-1)^n$, $n\in\mathbb{N}$, 求 $f^{(n)}(1)$.

[hint] 这是一道填空题. 将 $x^3-1$ 分解因式为 $(x-1)(x^2+x+1)$ 即可.

写出 $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$ 的麦克劳林(MacLaurin)展开式.

\[
e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}x^n
\]

\[
\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots+(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots
\]

\[
\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots+(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots
\]

研究计算 $e^x$ 等函数的算法.

求 $f(x)=e^x \sin x$ 和 $g(x)=e^x \cos x$的高阶导数.

求 $f(x)=xe^x$ 的高阶导数.

一般的, 求 $f_m(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$ 的高阶导数.

求函数 $y=\arctan\frac{x+1}{x-1}$ 的高阶导数.

Note:  注意 $\arctan\frac{x+1}{x-1}=-\arctan\frac{x+1}{1-x}$, 所以只要求 $\arctan\frac{1+x}{1-x}$ 的高阶导数.

详见问题2409 .