已知函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f'(x)-2}{x}=2$, 求 $\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}y^2}\biggr|_{x=0}$.

Remark: 注意这里求 $x$ 对 $y$ 的二阶导数在 $x=0$ 的值.

设 $f(x)=(x^3-1)^n$, $n\in\mathbb{N}$, 求 $f^{(n)}(1)$.

[hint] 这是一道填空题. 将 $x^3-1$ 分解因式为 $(x-1)(x^2+x+1)$ 即可.

写出 $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$ 的麦克劳林(MacLaurin)展开式.

求 $f(x)=e^x \sin x$ 和 $g(x)=e^x \cos x$的高阶导数.

求 $f(x)=xe^x$ 的高阶导数.

一般的, 求 $f_m(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$ 的高阶导数.

求函数 $y=\arctan\frac{x+1}{x-1}$ 的高阶导数.

Note:  注意 $\arctan\frac{x+1}{x-1}=-\arctan\frac{x+1}{1-x}$, 所以只要求 $\arctan\frac{1+x}{1-x}$ 的高阶导数.

详见问题2409 .

求 $y=\sin\sqrt{2x+1}$ 的高阶导数.

求 $y=\arcsin x$ 的高阶导数.

验证其满足等式 $xy'=(1-x^2)y''$, 并求 $y^{(n)}(0)$.

References:

梅加强, 《数学分析》 P.129, Exer 4.2 (10)

设 $f(x)=\arctan x$, 求 $f^{(n)}(x)$.  (参见[1] 例4.2.10)

解: 记 $y=\arctan x$, 则 $x=\tan y$, 从而

\[
y'=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2 y=\cos y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})
\]

两边对 $x$ 求导, 得

\[
\begin{split}
y''&=y'\cdot\big[-\sin y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})+\cos y\cdot\cos(y+\frac{\pi}{2})\big]\\
&=\cos^2 y\cdot\cos(2y+\pi)\\
&=\cos^2 y\cdot\sin 2(y+\frac{\pi}{2})
\end{split}
\]

继续对 $x$ 求导, 用归纳法可以发现,

\[
f^{(n)}(x)=y^{(n)}=(n-1)!\cos^n y\cdot\sin n(y+\frac{\pi}{2}).
\]

请完成证明.

References:

[1] 梅加强, 《数学分析》 高等教育出版社