问题及解答

设 $f(x)=(x^3-1)^n$, $n\in\mathbb{N}$, 求 $f^{(n)}(1)$.

[hint] 这是一道填空题. 将 $x^3-1$ 分解因式为 $(x-1)(x^2+x+1)$ 即可.

\[
f(x)=(x^3-1)^n=(x-1)^n\cdot(x^2+x+1)^n
\]

于是

\[
f'(x)=n(x-1)^{n-1}\cdot(x^2+x+1)^n+(x-1)^n\cdot n(x^2+x+1)^{n-1}\cdot(2x+1)
\]

因此, 可以看出, 当求高阶导数 $f^{(n)}(x)$ 时, 只有第一项在 $x=1$ 代入后仍时非零的, 其余都有 $x-1$ 因式. 因此

\[
f^{(n)}(0)=n!\cdot 3^n
\]