问题及解答

求 $f(x)=xe^x$ 的高阶导数.

对于函数 $f(x)=xe^x$, 依次求各阶导数.

\[
\begin{aligned}
f'(x)&=1\cdot e^x+xe^x=(1+x)e^x\\
f''(x)&=\bigl((1+x)e^x\bigr)'=1\cdot e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x\\
f'''(x)&=\bigl((2+x)e^x\bigr)'=1\cdot e^x+(2+x)e^x=(3+x)e^x\\
&\vdots
\end{aligned}
\]

使用归纳法, 容易证明

\[
f^{(n)}(x)=(n+x)e^x
\]

由 $f'=(1+x)e^x=e^x+xe^x$ 推出 $f'=e^x+f$, 因此 $e^x=f'-f$. 

\[
f^{(n)}=(n+x)e^x=ne^x+xe^x=n(f'-f)+f=nf'-(n-1)f
\]