已知函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f'(x)-2}{x}=2$, 求 $\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}y^2}\biggr|_{x=0}$.
Remark: 注意这里求 $x$ 对 $y$ 的二阶导数在 $x=0$ 的值.
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由于极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f'(x)-2}{x}$存在, 故 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f'(x)=2$. 而 $y=f(x)$ 具有二阶导数, 故一阶导函数 $f'(x)$ 是连续的. 因此, $f'(0)=2$.
于是, 再由上面的极限条件知
\[
f''(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f'(x)-2}{x}=2
\]
由 $f'(0)=2$ 可推出 $f(x)-f(0)$ 与 $2x$ 是 $x\rightarrow 0$ 时的等价无穷小, 事实上
\[
2=f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\quad\Rightarrow\quad\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{2x}=1.
\]
另外, 由条件中的极限也可得 $2-y'(x)$ 与 $-2x$ 是 $x\rightarrow 0$ 时的等价无穷小. 这些在下面的计算中会用到.
记 $y(0)=y_0$, 则
\[
\begin{split}
\Bigl(x'(y)\Bigr)'\biggr|_{x=0}&=\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{x'(y)-x'(y_0)}{y-y_0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{y'(x)}-\frac{1}{y'(0)}}{y(x)-y(0)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{y'(x)}-\frac{1}{2}}{f(x)-f(0)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{2-y'(x)}{2y'(x)}}{2x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2-y'(x)}{4xy'(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2x}{4xy'(x)}\\
&=\frac{-1}{2y'(0)}=-\frac{1}{4}.
\end{split}
\]