类似的, 对 $g(x)=e^x \cos x$ 依次求各阶导数.
\[
\begin{aligned}
g'(x)&=e^x\cos x+e^x\cdot(-\sin x)=e^x(\cos x-\sin x),\\
g''(x)&=\bigl[e^x(\cos x-\sin x)\bigr]'=e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x-\cos x)=-2e^x\sin x,\\
g'''(x)&=\bigl[-2e^x\sin x\bigr]'=-2\bigl[e^x\sin x+e^x\cos x)\bigr]=-2e^x(\sin x+\cos x),\\
g^{(4)}(x)&=\bigl[-2e^x(\sin x+\cos x)\bigr]'=-2\bigl[e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)\bigr]=-4e^x\cos x,\\
\end{aligned}
\]
于是 $g^{(5)}(x)=-4g'(x)$.
容易验证
\[
g''-2g'+2g=0
\]
从而有递推公式
\[
g^{(n)}-2g^{(n-1)}+2g^{(n-2)}=0,\quad n=2,3,4,\ldots
\]
于是, 同样的计算过程, 可以得到
\[
\begin{aligned}
g''&=-2g+2g'\\
g'''&=-2g'+2g''=-2g'+2(-2g+2g')=-4g+2g'\\
g^{(4)}&=-2g''+2g'''=-2(-2g+2g')+2(-4g+2g')=-4g=-2^2 g\\
g^{(5)}&=-4g'\\
g^{(6)}&=-4g''=-4(-2g+2g')=8g-8g'\\
g^{(7)}&=-4g'''=-4(-4g+2g')=16g-8g'\\
g^{(8)}&=-4g^{(4)}=-4\cdot(-4g)=16g\\
g^{(9)}&=16g'\\
g^{(10)}&=16g''=16(-2g+2g')=-2^5 g+2^5 g'\\
g^{(11)}&=16g'''=16(-4g+2g')=-2^6 g+2^5 g'\\
g^{(12)}&=16g^{(4)}=16\cdot (-2^2) g=-2^6 g\\
&\vdots
\end{aligned}
\]
列成表格的形式
|
$g$ |
$g'$ |
$g$ |
1 |
0 |
$g'$ |
0 |
1 |
$g''$ |
-2 |
2 |
$g'''$ |
-4 |
2 |
$g^{(4)}$ |
-4 |
0 |
$g^{(5)}$ |
0 |
-4 |
$g^{(6)}$ |
8 |
-8 |
$g^{(7)}$ |
16 |
-8 |
$g^{(8)}$ |
16 |
0 |
$g^{(9)}$ |
0 |
16 |
$g^{(10)}$ |
-32 |
32 |
$g^{(11)}$ |
-64 |
32 |
$g^{(12)}$ |
-64 |
0 |
可以写出 $g^{(n)}$ 的表达式.
Remark:
根据上面的计算, $y=e^x\sin x$ 和 $y=e^x\cos x$ 是微分方程 $y''-2y'+2y=0$ 的两个根.
事实上, 在求解微分方程 $y''-2y'+2y=0$ 时, 我们首先写出它的特征方程(代数方程): $\lambda^2-2\lambda+2=0$. 求得两个解
\[
\lambda_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=1\pm i
\]
因此, 解为
\[
y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}
\]