求 $f(x)=e^x \sin x$ 和 $g(x)=e^x \cos x$的高阶导数.
证明:
\[
g^{(n)}(x)=\begin{cases}
(-4)^{k}e^x \cos x, & n=4k,\\
(-4)^{k}e^x(\cos x-\sin x), & n=4k+1,\\
(-4)^{k}(-2)e^x \sin x, & n=4k+2,\\
(-4)^{k}(-2)e^x(\sin x+\cos x), & n=4k+3.
\end{cases}
\]
$g^{(n)}(x)$ 可以写为
\[
g^{(n)}(x)=-(\sqrt{2})^n e^x \sin(x+\frac{n-2}{4}\pi),\quad n\geqslant 1.
\]
当然, 也可以写为
\[
g^{(n)}(x)=(\sqrt{2})^n e^x \cos(x+\frac{n}{4}\pi),\quad n\geqslant 1.
\]
1
对 $f(x)=e^x \sin x$ 依次求各阶导数.
\[
\begin{aligned}
f'(x)&=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x),\\
f''(x)&=\bigl[e^x(\sin x+\cos x)\bigr]'=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)=2e^x\cos x,\\
f'''(x)&=\bigl[2e^x\cos x\bigr]'=2\bigl[e^x\cos x+e^x\cdot(-\sin x)\bigr]=2e^x(\cos x-\sin x),\\
f^{(4)}(x)&=\bigl[2e^x(\cos x-\sin x)\bigr]'=2\bigl[e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x-\cos x)\bigr]=-4e^x\sin x,\\
\end{aligned}
\]
于是 $f^{(5)}(x)=-4f'(x)$.
容易验证
\[
f''-2f'+2f=0
\]
从而有递推公式
\[
f^{(n)}-2f^{(n-1)}+2f^{(n-2)}=0,\quad n=2,3,4,\ldots
\]
事实上, 可以计算得到
\[
\begin{aligned}
f''&=-2f+2f'\\
f'''&=-2f'+2f''=-2f'+2(-2f+2f')=-4f+2f'\\
f^{(4)}&=-2f''+2f'''=-2(-2f+2f')+2(-4f+2f')=-4f=-2^2 f\\
f^{(5)}&=-4f'\\
f^{(6)}&=-4f''=-4(-2f+2f')=8f-8f'\\
f^{(7)}&=-4f'''=-4(-4f+2f')=16f-8f'\\
f^{(8)}&=-4f^{(4)}=-4\cdot(-4f)=16f\\
f^{(9)}&=16f'\\
f^{(10)}&=16f''=16(-2f+2f')=-2^5 f+2^5 f'\\
f^{(11)}&=16f'''=16(-4f+2f')=-2^6 f+2^5 f'\\
f^{(12)}&=16f^{(4)}=16\cdot (-2^2) f=-2^6 f\\
&\vdots
\end{aligned}
\]
列成表格的形式
| $f$ | $f'$ | |
| $f$ | 1 | 0 |
| $f'$ | 0 | 1 |
| $f''$ | -2 | 2 |
| $f'''$ | -4 | 2 |
| $f^{(4)}$ | -4 | 0 |
| $f^{(5)}$ | 0 | -4 |
| $f^{(6)}$ | 8 | -8 |
| $f^{(7)}$ | 16 | -8 |
| $f^{(8)}$ | 16 | 0 |
| $f^{(9)}$ | 0 | 16 |
| $f^{(10)}$ | -32 | 32 |
| $f^{(11)}$ | -64 | 32 |
| $f^{(12)}$ | -64 | 0 |
可以写出 $f^{(n)}$ 的表达式.
2
类似的, 对 $g(x)=e^x \cos x$ 依次求各阶导数.
\[
\begin{aligned}
g'(x)&=e^x\cos x+e^x\cdot(-\sin x)=e^x(\cos x-\sin x),\\
g''(x)&=\bigl[e^x(\cos x-\sin x)\bigr]'=e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x-\cos x)=-2e^x\sin x,\\
g'''(x)&=\bigl[-2e^x\sin x\bigr]'=-2\bigl[e^x\sin x+e^x\cos x)\bigr]=-2e^x(\sin x+\cos x),\\
g^{(4)}(x)&=\bigl[-2e^x(\sin x+\cos x)\bigr]'=-2\bigl[e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)\bigr]=-4e^x\cos x,\\
\end{aligned}
\]
于是 $g^{(5)}(x)=-4g'(x)$.
容易验证
\[
g''-2g'+2g=0
\]
从而有递推公式
\[
g^{(n)}-2g^{(n-1)}+2g^{(n-2)}=0,\quad n=2,3,4,\ldots
\]
于是, 同样的计算过程, 可以得到
\[
\begin{aligned}
g''&=-2g+2g'\\
g'''&=-2g'+2g''=-2g'+2(-2g+2g')=-4g+2g'\\
g^{(4)}&=-2g''+2g'''=-2(-2g+2g')+2(-4g+2g')=-4g=-2^2 g\\
g^{(5)}&=-4g'\\
g^{(6)}&=-4g''=-4(-2g+2g')=8g-8g'\\
g^{(7)}&=-4g'''=-4(-4g+2g')=16g-8g'\\
g^{(8)}&=-4g^{(4)}=-4\cdot(-4g)=16g\\
g^{(9)}&=16g'\\
g^{(10)}&=16g''=16(-2g+2g')=-2^5 g+2^5 g'\\
g^{(11)}&=16g'''=16(-4g+2g')=-2^6 g+2^5 g'\\
g^{(12)}&=16g^{(4)}=16\cdot (-2^2) g=-2^6 g\\
&\vdots
\end{aligned}
\]
列成表格的形式
| $g$ | $g'$ | |
| $g$ | 1 | 0 |
| $g'$ | 0 | 1 |
| $g''$ | -2 | 2 |
| $g'''$ | -4 | 2 |
| $g^{(4)}$ | -4 | 0 |
| $g^{(5)}$ | 0 | -4 |
| $g^{(6)}$ | 8 | -8 |
| $g^{(7)}$ | 16 | -8 |
| $g^{(8)}$ | 16 | 0 |
| $g^{(9)}$ | 0 | 16 |
| $g^{(10)}$ | -32 | 32 |
| $g^{(11)}$ | -64 | 32 |
| $g^{(12)}$ | -64 | 0 |
可以写出 $g^{(n)}$ 的表达式.
Remark:
根据上面的计算, $y=e^x\sin x$ 和 $y=e^x\cos x$ 是微分方程 $y''-2y'+2y=0$ 的两个根.
事实上, 在求解微分方程 $y''-2y'+2y=0$ 时, 我们首先写出它的特征方程(代数方程): $\lambda^2-2\lambda+2=0$. 求得两个解
\[
\lambda_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=1\pm i
\]
因此, 解为
\[
y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}
\]