问题

求 $f(x)=e^x \sin x$ 和 $g(x)=e^x \cos x$的高阶导数.

证明:

\[
g^{(n)}(x)=\begin{cases}
(-4)^{k}e^x \cos x, & n=4k,\\
(-4)^{k}e^x(\cos x-\sin x), & n=4k+1,\\
(-4)^{k}(-2)e^x \sin x, & n=4k+2,\\
(-4)^{k}(-2)e^x(\sin x+\cos x), & n=4k+3.
\end{cases}
\]

$g^{(n)}(x)$ 可以写为

\[
g^{(n)}(x)=-(\sqrt{2})^n e^x \sin(x+\frac{n-2}{4}\pi),\quad n\geqslant 1.
\]

当然, 也可以写为

\[
g^{(n)}(x)=(\sqrt{2})^n e^x \cos(x+\frac{n}{4}\pi),\quad n\geqslant 1.
\]