问题及解答

一般的, 求 $f_m(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$ 的高阶导数.

$m=1$ 时, $f(x)=\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}$.

\[
\begin{aligned}
f'(x)&=(-1)\cdot(1-x)^{-2}\cdot(-1)\\
f''(x)&=(-1)(-2)\cdot(1-x)^{-3}\cdot(-1)^2\\
f'''(x)&=(-1)(-2)(-3)\cdot(1-x)^{-4}\cdot(-1)^3\\
f^{(4)}(x)&=(-1)(-2)(-3)(-4)\cdot(1-x)^{-5}\cdot(-1)^4\\
&\vdots
\end{aligned}
\]

因此, 猜测

\[
f^{(n)}(x)=n!\cdot(1-x)^{-(n+1)}
\]

用归纳法即可证明, 略.

$m=2$ 时, $f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}=(1-x)^{-2}$

\[
\begin{aligned}
f'(x)&=(-2)\cdot(1-x)^{-3}\cdot(-1)=1\cdot 2\cdot(1-x)^{-3}\\
f''(x)&=1\cdot 2\cdot(-3)\cdot(1-x)^{-4}\cdot(-1)=3!\cdot(1-x)^{-4}\\
f'''(x)&=4!\cdot(1-x)^{-5}\\
&\vdots
\end{aligned}
\]

因此, 猜测

\[
f^{(n)}(x)=(n+1)!\cdot(1-x)^{-(n+2)}
\]

用归纳法即可证明, 略.

$m=3$ 时, $f(x)=\frac{1}{(1-x)^3}=(1-x)^{-3}$

\[
\begin{aligned}
f'(x)&=(-3)\cdot(1-x)^{-4}\cdot(-1)=3\cdot(1-x)^{-4}\\
f''(x)&=3\cdot 4\cdot(1-x)^{-5}\\
f'''(x)&=3\cdot 4\cdot 5\cdot(1-x)^{-6}\\
f^{(4)}(x)&=\frac{6!}{2!}\cdot(1-x)^{-7}\\
&\vdots
\end{aligned}
\]

因此, 猜测

\[
f^{(n)}(x)=\frac{(n+2)!}{2!}\cdot(1-x)^{-(n+3)}
\]

用归纳法即可证明, 略.

一般的, 对于函数 $f(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$  , 这里 $m\in\mathbb{N}$. (自然数集 $\mathbb{N}$ 定义为正整数集.)

有

\[
f^{(n)}(x)=\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!}\cdot(1-x)^{-(n+m)}
\]