Questions in category: 导数及微分 (Derivatives and differentials)
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21. [Homework] 3.2

Posted by haifeng on 2020-11-02 16:38:39 last update 2020-11-02 16:38:39 | Answers (2) | 收藏


P. 118  习题 3.2


1.  利用洛必达法则求下列极限:

(9)    $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x(e^{\frac{2}{x}}-1)$

 

 

(11)    $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}(1-x)^{\cos\frac{\pi}{2}x}$

 

 

 

 

3.   设 $f(x)=\begin{cases}\frac{g(x)}{x}, & x\neq 0,\\ 0, & x=0 ,\end{cases}$  其中 $g(x)$ 具有二阶导数, 并且 $g(0)=g'(0)=0$, $g''(0)=a$,  求 $f'(0)$.

 

 

22. [Homework] 2.5

Posted by haifeng on 2020-11-02 16:24:55 last update 2020-11-02 16:25:57 | Answers (4) | 收藏


P. 99  习题 2.5


3. 求下列函数的微分:

(2)   $y=x^2 e^{-x}$

 

 

(6)    $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

 

 

4.  求下列方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的微分:

(3)    $e^y+xy-e^x=0$

 

 

 

7. 计算下列各式的近似值:

(1)    $\sqrt[6]{65}$

 

23. [Homework] 2.4

Posted by haifeng on 2020-10-27 16:37:20 last update 2020-10-27 16:37:20 | Answers (4) | 收藏


P. 91  习题 2.4


3.  求下列方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的一阶导数与二阶导数.

(1)    $x^3+x^2y+y^3=a^3$      ($a\neq 0$)

 

 

4.  求下列函数的导数.

(3)    $y=\sqrt{\dfrac{x(x^2+1)}{(x^2-1)^3}}$

 

 

 

7.  求下列参数方程所确定的函数 $y=y(x)$ 的一阶导数与二阶导数.

(3)  $\begin{cases}x=1-t^2,\\ y=t-t^3\end{cases}$

 

24. [Homework] 2.3

Posted by haifeng on 2020-10-26 20:34:17 last update 2020-10-26 20:34:17 | Answers (3) | 收藏


P.85 习题 2.3


2.  设 $f(x)$ 二阶可导, 求下列函数的二阶导数

(1)  $y=f(\frac{1}{x})$

 

4.  求下列函数的 $n$ 阶导数

(4)  $y=\sin^4 x+\cos^4 x$

 

(6)  $y=\frac{1}{x^2-1}$

25. [Homework] 2.2

Posted by haifeng on 2020-10-26 13:32:52 last update 2020-10-26 13:32:52 | Answers (2) | 收藏


P. 81

2. 求下列函数的导数

(12)  $y=\dfrac{1-\sin\sqrt{x}}{1+\sin\sqrt{x}}$

 

(17)  $y=x\arcsin\frac{x}{2}+\sqrt{4-x^2}$

 

 

7.  求下列分段函数的导数:

(1)  $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}, & x\neq 0,\\ 0, & x=0.\end{cases}$

 

26. 设 $f(x)$ 二阶可导, 求下列函数的二阶导数.

Posted by haifeng on 2019-10-29 17:40:25 last update 2019-10-29 17:40:25 | Answers (1) | 收藏


设 $f(x)$ 二阶可导,  求下列函数的二阶导数.

(1) $y=f(\frac{1}{x})$

(2) $y=e^{f(x)}$

27. 求下列分段函数的导数

Posted by haifeng on 2019-10-29 17:12:05 last update 2019-10-29 17:13:54 | Answers (1) | 收藏


求下列分段函数的导数

(1)

\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x},& x\neq 0,\\
0,& x=0.
\end{cases}
\]

28. 设 $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leqslant 1,\\ 2x, & x > 1\end{cases}$, 求 $f'_{-}(1)$ 和 $f'_{+}(1)$, 并说明 $f'(1)$ 是否存在.

Posted by haifeng on 2019-10-28 15:15:51 last update 2019-10-29 17:14:20 | Answers (2) | 收藏


设 $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\leqslant 1,\\ 2x, & x > 1\end{cases}$, 求 $f'_{-}(1)$ 和 $f'_{+}(1)$, 并说明 $f'(1)$ 是否存在.

 

[hint]

事实上, 函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 不连续, 当然在该点也就不可导.

 


类似的问题

 

\[
f(x)=\begin{cases}
\dfrac{\ln(1+3x^2)}{x}, & x\neq 0,\\
0, & x=0.
\end{cases}
\]

求 $f'(0)$.

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