P. 91 习题 2.4
3. 求下列方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的一阶导数与二阶导数.
(1) $x^3+x^2y+y^3=a^3$ ($a\neq 0$)
4. 求下列函数的导数.
(3) $y=\sqrt{\dfrac{x(x^2+1)}{(x^2-1)^3}}$
7. 求下列参数方程所确定的函数 $y=y(x)$ 的一阶导数与二阶导数.
(3) $\begin{cases}x=1-t^2,\\ y=t-t^3\end{cases}$
1
3. (1)
两边对 $x$ 求导, $y$ 看成 $x$ 的函数.
\[
\begin{split}
&\Rightarrow\ 3x^2+2xy+x^2\cdot y'+3y^2\cdot y'=0\\
&\Rightarrow\ (x^2+3y^2)\cdot y'=-(3x^2+2xy)
\end{split}
\]
在原方程中令 $x=0$, 得 $y^3=a^3$, 推出 $y=a$. 代入上面得式子,
\[
3a^2\cdot y'(0)=0.
\]
注意到 $a\neq 0$, 故有 $y'(0)=0$.
为求 $y''$, 在式子 $(x^2+3y^2)\cdot y'=-(3x^2+2xy)$ 两端分别对 $x$ 求导, $y$ 看成 $x$ 的函数. 得
\[
(2x+6y\cdot y')\cdot y'+(x^2+3y^2)\cdot y''=-(6x+2y+2x\cdot y')
\]
将 $x=0$, $y(0)=a$ 以及 $y'(0)=0$ 代入, 得
\[
3a^2\cdot y''(0)=-2a\quad\Rightarrow\quad y''(0)=-\frac{2}{3a}.
\]
2
4. (3)
根据函数的表达式, 自变量 $x$ 需满足 $\frac{x(x^2+1)}{(x^2-1)^3}\geqslant 0$. 这等价于 $\frac{x}{x^2-1}\geqslant 0$. 即 $x=0$ 或 $x(x^2-1) > 0$.
\[
x(x^2-1) > 0\quad\Leftrightarrow\quad x(x-1)(x+1) > 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in(-1,0)\cup(1,+\infty)
\]
因此, 函数的定义域为 $x\in(-1,0]\cup(1,+\infty)$.
对于 $x\in(-1,0)\cup(1,+\infty)$
\[
\begin{split}
\ln y&=\ln\sqrt{\frac{x(x^2+1)}{(x^2-1)^3}}=\frac{1}{2}\ln\frac{x(x^2+1)}{(x^2-1)^3}\\
&=\frac{1}{2}\Bigl[\ln|x|+\ln(x^2+1)-3\ln|x^2-1|\Bigr]\\
\end{split}
\]
两边对 $x$ 求导, $y$ 看成 $x$ 的函数.
\[
\begin{split}
\frac{1}{y}\cdot y'&=\frac{1}{2}\Bigl[\frac{1}{x}+\frac{2x}{x^2+1}-3\cdot\frac{2x}{x^2-1}\Bigr]\\
&=\frac{1}{2x}+\frac{x}{x^2+1}-\frac{3x}{x^2-1}\\
&=\frac{1}{2x}+\frac{x(x^2-1)-3x(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2-1)}\\
&=\frac{1}{2x}+\frac{-2x^3-4x}{x^4-1}\\
&=\frac{x^4-1+2x(-2x^3-4x)}{2x(x^4-1)}\\
&=\frac{-3x^4-8x^2-1}{2x(x^4-1)}
\end{split}
\]
推出
\[
\begin{split}
y'&=y\cdot\frac{1}{2}\Bigl[\frac{1}{x}+\frac{2x}{x^2+1}-3\cdot\frac{2x}{x^2-1}\Bigr]\\
&=\sqrt{\frac{x(x^2+1)}{(x^2-1)^3}}\cdot\Bigl[\frac{1}{2x}+\frac{x}{x^2+1}-\frac{3x}{x^2-1}\Bigr]\\
&=\sqrt{\frac{x(x^2+1)}{(x^2-1)^3}}\cdot\frac{-3x^4-8x^2-1}{2x(x^4-1)}
\end{split}
\]
3
7. (3)
$\dot{y}=y'_t=1-3t^2$, $\dot{x}=x'_t=-2t$.
\[
y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}=\frac{1-3t^2}{-2t}=\frac{3t^2-1}{2t}
\]
\[
\begin{split}
{y''}_{xx}=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})\\
&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3t^2-1}{2t})\\
&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{3t^2-1}{2t})\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\
&=\frac{6t\cdot 2t-(3t^2-1)\cdot 2}{4t^2}\cdot\frac{1}{x'_t}\\
&=\frac{6t^2+2}{4t^2}\cdot\frac{1}{-2t}\\
&=-\frac{3t^2+1}{4t^3}
\end{split}
\]
或者直接应用公式
\[
{y''}_{xx}=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\ddot{y}\dot{x}-\ddot{x}\dot{y}}{\dot{x}^3}
\]
$\ddot{y}=(1-3t^2)'=-6t$, $\ddot{x}=(-2t)'=-2$.
\[
\begin{split}
{y''}_{xx}=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}&=\frac{-6t\cdot(-2t)-(-2)\cdot(1-3t^2)}{(-2t)^3}\\
&=\frac{12t^2+2-6t^2}{-8t^3}\\
&=\frac{6t^2+2}{-8t^3}\\
&=-\frac{3t^2+1}{4t^3}
\end{split}
\]