[Homework] 2.5
P. 99 习题 2.5
3. 求下列函数的微分:
(2) $y=x^2 e^{-x}$
(6) $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$
4. 求下列方程所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的微分:
(3) $e^y+xy-e^x=0$
7. 计算下列各式的近似值:
(1) $\sqrt[6]{65}$
Answer
问题及解答
1
3. (2) $y=x^2 e^{-x}$
\[
\begin{split}
\mathrm{d}y&=d(x^2)\cdot e^{-x}+x^2\cdot\mathrm{d}(e^{-x})\\
&=2x\mathrm{d}x\cdot e^{-x}+x^2\cdot(-e^{-x})\mathrm{d}x\\
&=(2x-x^2)e^{-x}\mathrm{d}x\\
&=x(2-x)e^{-x}\mathrm{d}x
\end{split}
\]
或者, 先计算 $y'$.
\[
\begin{split}
y'&=(x^2 e^{-x})'\\
&=2xe^{-x}+x^2\cdot(-e^{-x})\\
&=x(2-x)e^{-x}
\end{split}
\]
从而 $\mathrm{d}y=x(2-x)e^{-x}\mathrm{d}x$.
(6) $y=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$
\[
\begin{split}
\mathrm{d}y&=\mathrm{d}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\\
&=\frac{dx\cdot\sqrt{x^2-1}-x\cdot\mathrm{d}\sqrt{x^2-1}}{x^2-1}\\
&=\frac{\sqrt{x^2-1}\cdot\mathrm{d}x-x\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x}{x^2-1}\\
&=\frac{(x^2-1)-x^2}{(x^2-1)^{3/2}}\mathrm{d}x\\
&=\frac{-1}{(x^2-1)^{3/2}}\mathrm{d}x
\end{split}
\]
或先求 $y'$.
\[
\begin{split}
y'&=(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}})'=\frac{1\cdot\sqrt{x^2-1}-x\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=\frac{-1}{(x^2-1)^{3/2}}
\end{split}
\]
因此, $\mathrm{d}y=\frac{-1}{(x^2-1)^{3/2}}\mathrm{d}x$.
2
4. (3) $e^y+xy-e^x=0$
两边求微分,
\[
\begin{split}
&\mathrm{d}(e^y)+\mathrm{d}(xy)-\mathrm{d}(e^x)=0\\
\Rightarrow\ &e^y\mathrm{d}y+\mathrm{d}x\cdot y+x\mathrm{d}y-e^x\mathrm{d}x=0\\
\Rightarrow\ &(e^y+x)\mathrm{d}y=(e^x-y)\mathrm{d}x\\
\Rightarrow\ &\mathrm{d}y=\frac{e^x-y}{e^y+x}\mathrm{d}x.
\end{split}
\]
或, 两边对 $x$ 求导, $y$ 看成 $x$ 的函数.
\[
\begin{split}
&e^y\cdot y'+1\cdot y+x\cdot y'-e^x=0\\
\Rightarrow\ &(e^y+x)y'=e^x-y\\
\Rightarrow\ &y'=\frac{e^x-y}{e^y+x},
\end{split}
\]
因此, $\mathrm{d}y=\dfrac{e^x-y}{e^y+x}\mathrm{d}x$.
3
7. (1) $\sqrt[6]{65}$
考虑函数 $f(x)=\sqrt[6]{x}$.
\[f'(x)=(x^{\frac{1}{6}})'=\frac{1}{6}\cdot x^{-\frac{5}{6}}\]
由于 $f(64)=\sqrt[6]{64}=2$, 因此令 $x=62$, $\Delta x=1$, 于是
\[
\begin{split}
\sqrt[6]{65}&=f(64+1)\approx f(64)+f'(64)\cdot\Delta x\\
&=2+\frac{1}{6}\cdot 64^{-\frac{5}{6}}\cdot 1\\
&=2+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2^5}\\
&\approx 2.00520833
\end{split}
\]