问题及解答

证明: 当 $x > 1$ 时,

\[\frac{\pi}{4} < x(\frac{\pi}{2}-\arctan x) < 1.\]

[分析] 当 $x > 1$ 时, 要证的不等式等价于

\[
\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{x} < \frac{\pi}{2}-\arctan x < \frac{1}{x}.
\]

(1) 令 $f(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x-\frac{1}{x}$, 则 $f(x)$ 是 $(1,+\infty)$ 上的可微函数.

\[
f(1)=\frac{\pi}{2}-\arctan 1-\frac{1}{1}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}-1=\frac{\pi}{4}-1 < 0,
\]

\[
f'(x)=-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{x^2} > 0,
\]

即函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上严格单调递增. 又

\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}(\frac{\pi}{2}-\arctan x-\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}-0=0,
\]

故 $f(x) < 0$, $\forall\ x\in(1,+\infty)$. 即 $\frac{\pi}{2}-\arctan x < \frac{1}{x}$ 成立.

(2) 令 $g(x)=\frac{\pi}{2}-\arctan x-\frac{\pi}{4x}$, 则 $g(x)$ 是 $(1,+\infty)$ 上的可微函数.

\[
g(1)=\frac{\pi}{2}-\arctan 1-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=0,
\]

\[
g'(x)=-\frac{1}{1+x^2}+\frac{\pi}{4x^2}=\frac{(\pi-4)x^2+\pi}{4x^2(1+x^2)},
\]

因此, 

\[
g'(x) > 0 \Leftrightarrow (\pi-4)x^2+\pi > 0 \Leftrightarrow x^2 < \frac{\pi}{4-\pi}
\]

即函数 $g(x)$ 在 $(1,\sqrt{\frac{\pi}{4-\pi}}]$ 上严格单调递增, 在 $[\sqrt{\frac{\pi}{4-\pi}},+\infty)$ 上严格单调递减, 从而 $x=\sqrt{\frac{\pi}{4-\pi}}$ 是最大值点. 并且

\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}(\frac{\pi}{2}-\arctan x-\frac{\pi}{4x})=0,
\]

故 $g(x) > 0$, $\forall\ x\in(1,+\infty)$. 即不等式 $\frac{\pi}{2}-\arctan x > \frac{\pi}{4x}$ 成立.