问题及解答

求函数 $f(x)$ 的导数, 这里
\[
f(x)=\begin{cases}
x^\frac{3}{2}\sin\frac{1}{x}+x,& x>0,\\
0, & x=0.
\end{cases}
\]

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{\frac{3}{2}\sin\frac{1}{x}}+x-0}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\bigl(\sqrt{x}\sin\frac{1}{x}+1\bigr)=1.
\]

故 $f$ 在 $x=0$ 点处可导, 且 $f'(0)=1$.

当 $x > 0$ 时,

\[
\begin{split}
f'(x)=\Bigl[x^{\frac{3}{2}\sin\frac{1}{x}}+x\Bigr]'&=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\sin\frac{1}{x}+x^{\frac{3}{2}}\cos\frac{1}{x}\cdot\frac{-1}{x^2}+1\\
&=\frac{3}{2}\sqrt{x}\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\cos\frac{1}{x}+1.
\end{split}
\] 

因此, 任给 $\delta > 0$, 存在 $x\in(0,\delta)$, 使得 $f'(x) < 0$.