问题及解答

证明: 当 $x > 0$ 时,

\[e^{\frac{x}{x+1}} < (1+\frac{1}{x})^x < e.\]

取对数后不等式等价于
\[
\frac{x}{1+x}<x\ln(1+\frac{1}{x})<1.
\]
这等价于
\[
\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}<\ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}.
\]