设 $f(x,y)$, $f'_y(x,y)$ 连续, 

\[
\mu(x,y)=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}dt\int_{t-x+y}^{-t+x+y}f(t,s)ds
\]

证明:

\[
\mu''_{xx}-\mu''_{yy}=f(x,y).
\]

设 $y=\phi(x)$ 是严格单调递增的连续函数. $\phi(0)=0$, $x=\varphi(y)$ 是其反函数.

(1) 证明, 对于 $a > 0$, $b > 0$, 有

\[
\int_0^a \phi(x)dx+\int_0^b \varphi(y)dy\geqslant ab.
\]

(2) 利用 (1) 的结论, 证明对于 $a > 0$, $b > 0$, $p > 1$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 有

\[
ab\leqslant\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}
\]

求函数 $f(x)=(1-x)^x+x^{1-x}$ 的极值, 这里 $x\in[0,1]$.

更一般的, 求 $f(x,y)=x^y+y^x$ 在区域 $[0,1]\times[0,1]$ 中的极值.

设 $f,g$ 是 $\mathbb{R}$ 上的实函数, 且 $f(x)\not\equiv 0$, $f$ 有界. 而且 $f,g$ 满足

\[
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\quad\forall\ x,y\in\mathbb{R}.
\]

试证: $|g(y)|\leqslant 1$, $\forall\ y\in\mathbb{R}$.

证明

\[
\log(1+n) < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} < 1+\log n .
\]

注意: $0 < 1+\log n-\log(1+n) < 1$.  事实上, 区间 $[\log(1+n), 1+\log n]$ 的长度随着 $n$ 递增趋于 1.

多元函数在某一点连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系.

偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微.

可微 $\Rightarrow$ 连续, 偏导数存在.

但是连续不一定偏导数存在, 偏导数存在也推不出连续.

二阶偏导数 $f''_{xy}$, $f''_{yx}$ 在某点连续推出 $f''_{yx}=f''_{xy}$.

偏导数存在但不连续的例子

例1. 函数

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2\neq 0,\\
0, & x^2+y^2=0.
\end{cases}
\]

此函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续但是偏导数存在.

或者考虑函数

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
0, & xy=0,\\
1, & xy\neq 0.
\end{cases}
\]

显然函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续, 但在 $(0,0)$ 处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$.

例 2. 考虑函数

\[
z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},
\]

$(0,0)$ 是该锥面的尖点.

例 3. 考虑函数

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]

二元函数偏导数存在但不可微的例子

参见问题1430

设 $h$ 是鼓包函数. 任取一列实数 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$, 令

\[
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h(\xi_n x)}{n!}a_n x^n,\quad x\in\mathbb{R},
\]

其中 $\xi_n=n+\sum_{i=0}^{n}|a_i|$. 证明 $f$ 为光滑函数, 且

\[
f^{(n)}(0)=a_n,\quad n\geqslant 0.
\]

令 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 为

\[
f(x)=\begin{cases}
e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}},& x\in(a,b),\\
0, & x\in\mathbb{R}-(a,b).
\end{cases}
\]

证明 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数.

鼓包函数有时也称为截断函数. (特别是方程的人喜欢这么称呼.)

设 $W$ 为 $\mathbb{R}^{n+m}$ 中开集, $W$ 中的点用 $(x,y)$ 表示, 其中 $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\ldots,y_n)$. $f:\ W\rightarrow\mathbb{R}^m$ 为 $C^k$ 映射,

\[
f(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y),\ldots,f_m(x,y)).
\]

设 $(x^0,y^0)\in W$, $f(x^0,y^0)=0$ 且 $\det Jf_y(x^0,y^0)\neq 0$, 其中

\[
Jf_y(x,y)=\biggl(\frac{\partial f_i}{\partial y_j}(x,y)\biggr)_{m\times m},
\]

则存在 $x^0$ 的开邻域 $V\subset\mathbb{R}^n$, 以及唯一的 $C^k$ 映射 $g:\ V\rightarrow\mathbb{R}^m$, 使得

(1) $y^0=g(x^0)$, $f(x,g(x))=0$, $\forall\ x\in V$.

(2) $Jg(x)=-[Jf_y(x,g(x))]^{-1} Jf_x(x,g(x))$, 其中

\[
Jf_x(x,y)=\biggl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x,y)\biggr)_{m\times n},\quad (1\leqslant i\leqslant m,\ 1\leqslant j\leqslant n).
\]

References:

梅加强, 《数学分析》

对于 $x\in(-1,1)$, 有

\[
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots
\]

\[
\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+(n+1)x^n+\cdots
\]

\[
\frac{1}{(1-x)^3}=1+3x+6x^2+10x^3+15x^4+\cdots+\frac{(n+2)(n+1)}{2}x^n+\cdots
\]

将下面的函数在 $x=0$ 处作 Taylor 展开

\[
f(x)=\frac{1}{(1-x)^m}
\]

关于 $f(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$ 的高阶导数, 参见问题2598

此外, 还可以从另一个观点导出上面的结果

\[
\begin{split}
\frac{1}{(1-x)^2}&=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-x}\\
&=(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots)\cdot(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots)
\end{split}
\]