设 $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续可微函数, 且 $f(0)=0$. 证明

\[
\sup_{0\leqslant x\leqslant 1}|f(x)|\leqslant\sqrt{\int_0^1 (f'(x))^2 dx}.
\]

证明: $(\cos\theta)^p\leqslant\cos(p\theta)$, 这里 $\theta\in[0,2\pi]$, $0 < p <1$.

Berkeley Problems in Mathematics, Third Edition. (伯克利数学问题集)

Minkowski 不等式

设 $f$ 是 $[a,b]\times[c,d]$ 上的非负连续函数. $p\geqslant 1$. 则有

\[
\biggl(\int_a^b\Bigl(\int_c^d f(x,y)dy\Bigr)^p dx\biggr)^{\frac{1}{p}}\leqslant\int_c^d\Bigl(\int_a^b f^p(x,y)dx\Bigr)^{\frac{1}{p}}dy.
\]

当 $p>1$ 时, 等式成立的充分必要条件是

\[
f(x,y)=u(x)v(y).
\]

利用 Minkowski 不等式, 证明

\[
\biggl(\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)^p\biggr)^{\frac{1}{p}}\leqslant\biggl(\sum_{k=1}^{n}a_k^p\biggr)^{\frac{1}{p}}+\biggl(\sum_{k=1}^{n}b_k^p\biggr)^{\frac{1}{p}}.
\]

[Hint]

令 $f(k,i)=i_k$,  其中 $i=a$ 或 $b$; $k=1,2,\ldots,n$.

可参考 

real analysis - A kind of Minkowski inequality for integral - Mathematics Stack Exchange

证明 $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ 在 $(0,+\infty)$ 上是连续的.

设 $f(x,y)$, $f'_y(x,y)$ 连续, 

\[
\mu(x,y)=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}dt\int_{t-x+y}^{-t+x+y}f(t,s)ds
\]

证明:

\[
\mu''_{xx}-\mu''_{yy}=f(x,y).
\]

设 $y=\phi(x)$ 是严格单调递增的连续函数. $\phi(0)=0$, $x=\varphi(y)$ 是其反函数.

(1) 证明, 对于 $a > 0$, $b > 0$, 有

\[
\int_0^a \phi(x)dx+\int_0^b \varphi(y)dy\geqslant ab.
\]

(2) 利用 (1) 的结论, 证明对于 $a > 0$, $b > 0$, $p > 1$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 有

\[
ab\leqslant\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}
\]

求函数 $f(x)=(1-x)^x+x^{1-x}$ 的极值, 这里 $x\in[0,1]$.

更一般的, 求 $f(x,y)=x^y+y^x$ 在区域 $[0,1]\times[0,1]$ 中的极值.

设 $f,g$ 是 $\mathbb{R}$ 上的实函数, 且 $f(x)\not\equiv 0$, $f$ 有界. 而且 $f,g$ 满足

\[
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\quad\forall\ x,y\in\mathbb{R}.
\]

试证: $|g(y)|\leqslant 1$, $\forall\ y\in\mathbb{R}$.

证明

\[
\log(1+n) < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} < 1+\log n .
\]

注意: $0 < 1+\log n-\log(1+n) < 1$.  事实上, 区间 $[\log(1+n), 1+\log n]$ 的长度随着 $n$ 递增趋于 1.

多元函数在某一点连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系.

偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微.

可微 $\Rightarrow$ 连续, 偏导数存在.

但是连续不一定偏导数存在, 偏导数存在也推不出连续.

二阶偏导数 $f''_{xy}$, $f''_{yx}$ 在某点连续推出 $f''_{yx}=f''_{xy}$.

偏导数存在但不连续的例子

例1. 函数

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2\neq 0,\\
0, & x^2+y^2=0.
\end{cases}
\]

此函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续但是偏导数存在.

或者考虑函数

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
0, & xy=0,\\
1, & xy\neq 0.
\end{cases}
\]

显然函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续, 但在 $(0,0)$ 处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$.

例 2. 考虑函数

\[
z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},
\]

$(0,0)$ 是该锥面的尖点.

例 3. 考虑函数

\[
f(x,y)=
\begin{cases}
xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]

二元函数偏导数存在但不可微的例子

参见问题1430