问题及解答

设 $f,g$ 是 $\mathbb{R}$ 上的实函数, 且 $f(x)\not\equiv 0$, $f$ 有界. 而且 $f,g$ 满足

\[
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\quad\forall\ x,y\in\mathbb{R}.
\]

试证: $|g(y)|\leqslant 1$, $\forall\ y\in\mathbb{R}$.

设 $|f(x)|\leqslant M$, $\forall\ x\in\mathbb{R}$. 由于 $f$ 不恒等于零, 故 $M > 0$. 

任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $x_{\varepsilon}$, 使得 $0 < M-\varepsilon < |f(x_{\varepsilon})|\leqslant M$. 于是

\[
|g(y)|=\biggl|\frac{f(x_{\varepsilon}+y)+f(x_{\varepsilon}-y)}{2f(x_{\varepsilon})}\biggr|\leqslant\frac{2M}{2|f(x_{\varepsilon})|}<\frac{M}{M-\varepsilon},
\]

由于 $\varepsilon > 0$ 是任取的, 且与 $y$ 无关, 故 $|g(y)|\leqslant 1$, $\forall\ y\in\mathbb{R}$.