问题

设 $f,g$ 是 $\mathbb{R}$ 上的实函数, 且 $f(x)\not\equiv 0$, $f$ 有界. 而且 $f,g$ 满足

\[
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\quad\forall\ x,y\in\mathbb{R}.
\]

试证: $|g(y)|\leqslant 1$, $\forall\ y\in\mathbb{R}$.