Questions in category: 数学分析 (Mathematical Analysis)
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111. 证明黎曼函数(或 Thomae 函数)在无理点处连续, 在有理点处不连续.

Posted by haifeng on 2014-09-23 20:32:34 last update 2015-02-07 09:43:42 | Answers (1) | 收藏


黎曼函数或称 Thomae 函数是指下面定义的函数:

\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{q}, & \text{若}\ x\ \text{是有理数, 且等于既约分数}\ \frac{p}{q},\ \text{其中}\ q>0,\\
0, & \text{若}\ x\ \text{是无理数}.
\end{cases}
\]


注意到对任意整数 $n$, 有 $f(n)=1$.

证明黎曼函数处处不可微.

 


References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function

http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GKSX704/gksx704029.caj.pdf

112. 关于 $1+x+y+xy$ 和 $1-x-y+xy$ 的不等式

Posted by haifeng on 2014-09-10 16:13:13 last update 2014-09-10 16:22:20 | Answers (0) | 收藏


(1) 证明: 当 $x,y\in[0,1]$ 时,

\[
\max\{xy,\ x+y-2xy,\ 1-x-y+xy\}\geqslant\frac{4}{9}.
\]


(2) 证明:  当 $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$ 时,

\[
1+x+y+xy\leqslant (x+1)\ln(x+1)+e^y.
\]


【Hint】

第(2)题不宜令 $F(x,y)=(x+1)\ln(x+1)+e^y-(1+x)(1+y)$.

而应考虑函数 $f(x)=(x+1)\ln(x+1)-xy-x$

113. 函数 $\psi(t)=(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}{n})^{1/t}$ 的单调性.

Posted by haifeng on 2014-03-17 10:18:57 last update 2014-03-17 10:18:57 | Answers (0) | 收藏


函数 $\psi(t)=(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}{n})^{1/t}$ 的单调性.

114. 半连续

Posted by haifeng on 2014-02-21 11:30:52 last update 2021-07-02 17:46:02 | Answers (0) | 收藏


半连续这个名字通常会让人误解, 原因在于我们对左连续、右连续是熟知的, 而它们比较形象化.

事实上左连续、右连续中的左、右的确分别对应于 $x\rightarrow x_0^-$ 和 $x\rightarrow x_0^+$

而半连续往往会让人比较费解, 即使当时弄明白了, 时间一长可能又忘了.

事实上, 这个“半”字并不用于描述自变量行为的, 而是描述应变量的, 也就是用来刻画连续在最直观几何下的状态的. 由下面的定义, 也就大致明白为何有上半连续和下半连续这两个概念了.


 

半连续(semi-continuity)

 

定义 1. 设 $(X,d)$ 是一个度量空间. 考虑函数 $f:X\rightarrow\mathbb{R}$, 并设 $x\in X$.

1.  称 $f$ 在 $x$ 点处是上半连续的(upper semi-continuous), 当且仅当对 $X$ 中每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_t\}$, 都有 $\limsup_{t}f(x_t)\leq f(x)$. 如果 $f$ 在每一点 $x\in X$ 处是上半连续的, 则称 $f$ 在 $X$ 上是上半连续的.

2.  称 $f$ 在 $x$ 点处是下半连续的(lower semi-continuous), 当且仅当对 $X$ 中每个收敛到 $x$ 的点列 $\{x_t\}$, 都有 $\liminf_{t}f(x_t)\geq f(x)$. 如果 $f$ 在每一点 $x\in X$ 处是下半连续的, 则称 $f$ 在 $X$ 上是下半连续的.

 

最简单的例子,

  • 开集 $V$ 上的特征函数 $\chi_{_V}$ 是下半连续的.
  • 闭集 $K$ 上的特征函数 $\chi_{_K}$ 是上半连续的.

 


Prop. 设每个 $f_n$ 都是上半连续的, $n=1,2,3,\ldots$, 则 $\sum_{n=1}^{N}f_n$ 是上半连续的, 但 $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ 不一定是上半连续的(请举出反例).

 

 


关于上极限($\limsup$)和下极限($\liminf$)的概念, 参见问题2727 .

115. 设 $a_1\in\mathbb{R}$, $a_{n+1}=\arctan a_n$, 求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}na_n^2$

Posted by haifeng on 2013-04-02 16:29:52 last update 2013-04-02 16:50:36 | Answers (0) | 收藏


设 $a_1\in\mathbb{R}$, $a_{n+1}=\arctan a_n$, 求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}na_n^2$


References:

梅加强, 《数学分析》,高等教育出版社,2011.7.  【P.206】

116. 讨论函数 $f(x)=\begin{cases}x+x^2\cos(\frac{1}{x}),&x\neq 0,\\ 0, &0.\end{cases}$ 的可微性.

Posted by haifeng on 2012-08-06 10:01:58 last update 2012-08-06 10:03:17 | Answers (0) | 收藏


设函数 $f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 定义为

\[f(x)=\begin{cases}x+x^2\cos(\frac{1}{x}),&x\neq 0,\\ 0, &0.\end{cases}\]

证明:

(1) $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续;

(2) $f$ 在所有点处都可微;

(3) $f\'(0)\neq 0$;

(4) $f\'$ 在 $x=0$ 点处不连续;

(5) $f$ 在 $x=0$ 的任意邻域内都没有逆映射. (这说明反函数定理中关于导数连续的条件不能被去掉.)

117. 数学分析精品课程网站

Posted by haifeng on 2012-07-26 11:22:09 last update 2012-07-26 12:34:59 | Answers (0) | 收藏


南京大学

http://math.nju.edu.cn/jpkc/intro.htm

 

北京大学

http://www.math.pku.edu.cn:8000/misc/course/analysis/index.htm

 

118. B-函数(B function, B 函数)

Posted by haifeng on 2012-06-12 09:19:40 last update 2020-05-17 10:31:48 | Answers (3) | 收藏


称以 $x,y$ 为参量的广义积分

\[\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\]

为第一类欧拉积分. 当 $x > 0, y > 0$ 时, 这个积分收敛(请证明). 此时称这个二元函数

\[B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\tag{1}\]

为关于 $x,y$ 的 B-函数. 易见 $B(y,x)=B(x,y)$ (利用换元 $t\mapsto 1-s$ 即可证明).

由于 $t\in[0,1]$, 因此自然会想到令 $t=\sin^2\theta$, $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$, 若此, 则得到 B-函数的另一种形式.

\[B(x,y)=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta d\theta\]


 

Prop. $B(a,a)=2^{1-2a}B(a,\frac{1}{2})$.

 

Prop. $B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi$.

 

Cor. $\Gamma(a)\Gamma(a+\frac{1}{2})=2^{1-2a}\Gamma(2a)\Gamma(\frac{1}{2})$.

 


B-函数与 $\Gamma$-函数之间的关系见 $\Gamma$-函数.


References

杨奇林 编著 《数学物理方程与特殊函数》(第2版) 附录A.

 


编辑历史

last update 2017-06-02 19:52:14

 

119. Gamma 函数

Posted by haifeng on 2012-06-12 09:13:01 last update 2022-11-19 21:52:21 | Answers (3) | 收藏


$\Gamma$-函数的定义是:

当 $x>0$ 时,

\[\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\]

证明该积分当 $x>0$ 时收敛.

若不限定 $x$, 则称上式右端的积分为第二类欧拉积分.令 $t=s^2$, 则 $\Gamma$-函数又可表示为

\[\Gamma(x)=2\int_{0}^{+\infty}s^{2x-1}e^{-s^2}ds\]

请证明 $\Gamma$-函数的下列性质.

  1. $\Gamma(1)=1$
  2. $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, $\forall\ x > 0$.
  3. $\Gamma(x)\Gamma(y)=\Gamma(x+y)B(x,y)$, 其中 $B(x,y)$ 是指 Beta 函数 B-函数(也称为第一类欧拉积分). 这个关系式也记为
    \[B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]
    有些书上称之为欧拉定理.
  4. $\Gamma$-函数定义域可扩充到不含负整数的负数域上. 希望能继续满足递推公式 2. 例如, 对 $-1 < x < 0$, 定义
    \[\Gamma(x)=\frac{\Gamma(x+1)}{x},\]
    这里 $x+1 > 0$, 因此定义合理. 类似的, 因为 $\Gamma(x)$ 在 $(-1,0)$ 上已定以好, 所以对 $-2 < x < -1$, 仍可使用上式来定义 $\Gamma(x)$. 这样一直定义下去, $\Gamma(x)$ 就在 $\{x<0\mid x\not\in\mathbb{Z}^{-}\}$ 上定义好了.
    证明:
    \[\lim_{x\rightarrow 0}\Gamma(x)=+\infty\]
    由此, 可得
    \[\lim_{x\rightarrow -n}\Gamma(x)=+\infty,\quad\forall\ n=1,2,3,\ldots\]
  5. 当 $x\in(0,1)$ 时,
    \[\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}.\]
    这个称为余元公式. 事实上, 上式对于任意非整数的 $x$ 都成立. 例如对于 $x\in (-1,0)$, 有
    \[
    \begin{split}
    \Gamma(x)\Gamma(1-x)&=\frac{\Gamma(x+1)}{x}\Gamma(-x+1)=\frac{\Gamma(x+1)}{x}\cdot(-x)\Gamma(-x)=-\Gamma(x+1)\Gamma(-x)\\
    &=-\Gamma(-x)\Gamma(1-(-x))=-\frac{\pi}{\sin(\pi(-x))}\\
    &=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}
    \end{split}
    \]
  6. 证明 $\Gamma(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是光滑的. 即有各阶连续导函数.

  7. \[\sqrt{\pi}\Gamma(2z)=2^{2z-1}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2}).\]

  8. \[\frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(n+1)}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}.\]
  9. 根据 (7) 和 (8), 推出
    \[(2n)!!\Gamma(2n)=(2n-1)!!\cdot 2^{2n-1}\Gamma(n+1)\Gamma(n).\]

References

杨奇林 编著 《数学物理方程与特殊函数》(第2版) 附录A.
Б.П. 吉米多维奇 (Б.П. ДЕМИДОВИЧ) 数学分析习题集题解(五)

120. [Def]完全单调函数

Posted by haifeng on 2012-06-10 23:06:55 last update 2012-06-10 23:07:32 | Answers (0) | 收藏


函数 $f(x)$ 称为是区间 $I$ 上的完全单调函数(completely monotonic function), 如果它的各阶导数满足

\[(-1)^n f^{(n)}(x)\geqslant 0,\quad(\forall\ x\in I, n=0,1,2,\ldots)\]

若不等号是严格大于的, 则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是严格完全单调的.

类似的, 可定义所谓的对数完全单调函数.

函数 $f(x)$ 称为是区间 $I$ 上的对数完全单调函数(logarithmically completely monotonic function), 如果它取对数后, 各阶导数满足

\[(-1)^n [\ln f(x)]^{(n)}\geqslant 0,\quad(\forall\ x\in I, n=0,1,2,\ldots)\]

若不等号是严格大于的, 则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是严格对数完全单调的.


References

Chao-Ping Chen & Feng Qi, Completely monotonic function associated with the gamma functions and proof of Wallis\' inequality. Tamkang Journal of Mathematics, Vol. 36, No. 4, 303--307, Winter 2005.

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