问题及解答

设函数 $f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 定义为

\[f(x)=\begin{cases}x+x^2\cos(\frac{1}{x}),&x\neq 0,\\ 0, &0.\end{cases}\]

证明:

(1) $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续;

(2) $f$ 在所有点处都可微;

(3) $f\'(0)\neq 0$;

(4) $f\'$ 在 $x=0$ 点处不连续;

(5) $f$ 在 $x=0$ 的任意邻域内都没有逆映射. (这说明反函数定理中关于导数连续的条件不能被去掉.)