问题

称以 $x,y$ 为参量的广义积分

\[\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\]

为第一类欧拉积分. 当 $x > 0, y > 0$ 时, 这个积分收敛(请证明). 此时称这个二元函数

\[B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\tag{1}\]

为关于 $x,y$ 的 B-函数. 易见 $B(y,x)=B(x,y)$ (利用换元 $t\mapsto 1-s$ 即可证明).

由于 $t\in[0,1]$, 因此自然会想到令 $t=\sin^2\theta$, $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$, 若此, 则得到 B-函数的另一种形式.

\[B(x,y)=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta d\theta\]

Prop. $B(a,a)=2^{1-2a}B(a,\frac{1}{2})$.

Prop. $B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi$.

Cor. $\Gamma(a)\Gamma(a+\frac{1}{2})=2^{1-2a}\Gamma(2a)\Gamma(\frac{1}{2})$.

B-函数与 $\Gamma$-函数之间的关系见 $\Gamma$-函数.

References

杨奇林 编著 《数学物理方程与特殊函数》(第2版) 附录A.

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last update 2017-06-02 19:52:14