假设 $r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$, 求 $\Delta r$, $\Delta r^{-1}$, $\Delta\ln r$. 这里 $\Delta$ 是 Laplace 算子,   $\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$. 

一般的, 若 $r=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-x_i^0)^2}$, 且 $f(r)$ 二阶可导, 证明: $\Delta f(r)=f''(r)+\dfrac{n-1}{r}f'(r)$.

(1) $f(x,y)=x+y+\sqrt{x^2+y^2}$, 求 $f'_x(3,4)$, $f'_y(0,1)$.

(2) $f(x,y,z)=\bigl(\dfrac{\cos x}{\sin y}\bigr)e^z$, 求 $f$ 在 $(\pi,\frac{\pi}{2},\ln 3)$ 处的一阶偏导数.

(3) $f(x,y)=\sin(x^2 y)$, 求 $f$ 在 $(1,1)$ 处的一阶偏导数.

设 $z=f(xy^2,\ln(xy))$, 求 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}$, $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$.

设 $z=(x^2+y^2)^{xy}$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial z}{\partial y}$.

用拉格朗日乘数法求下列条件极值的可能极值点.

(2)  目标函数 $u=x^2+y^2+z^2$, 约束条件 $z=x^2+y^2$, $x+y+z=1$.

设 $z=z(x,y)$ 是由方程 $xy+z=yf(y+\frac{z}{x})$ 所确定的函数, 其中 $f$ 具有连续导数, 证明:
\[
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z-xy.
\]

设 $f$ 为多元函数, 证明: 如果 $u$, $v$ 为单位向量, 且 $u=-v$, 则 $\dfrac{\partial f}{\partial u}=-\dfrac{\partial f}{\partial v}$.

见[1] 习题12.1 

References:

[1] 梅加强  编著 《数学分析》.

\[
f(x,y)=\begin{cases}
xy\sin\frac{1}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]

设 $z=z(x,y)$ 可微, 且满足 $x^2\frac{\partial z}{\partial x}+y^2\frac{\partial z}{\partial y}=z^2$. 作变换

\[
\begin{cases}
u&=x,\\
v&=\frac{1}{y}-\frac{1}{x},
\end{cases}\quad\text{及}\quad w=\frac{1}{z}-\frac{1}{x},
\]

证明: $\frac{\partial w}{\partial u}=0$.

注: 题目来自于 https://www.bilibili.com/video/BV1kv4y1E7kK/

令 $f(x,y)=y\sin\frac{1}{x}$, 由于 $\sin()$ 函数有界, 故

\[
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}y\sin\frac{1}{x}=0,
\]

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\lim_{y\rightarrow 0}y\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}0=0,
\]

但是

\[
\lim_{x\rightarrow 0}y\sin\frac{1}{x}
\]

不存在.