问题及解答

设 $z=z(x,y)$ 是由方程 $xy+z=yf(y+\frac{z}{x})$ 所确定的函数, 其中 $f$ 具有连续导数, 证明:
\[
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z-xy.
\]

方程 $xy+z=yf(y+\frac{z}{x})$ 两边对 $x$ 求偏导数, $z$ 看成 $x,y$ 的函数.

\[
\begin{split}
&y+z'_x=yf'\cdot (\frac{z}{x})'_x\\
\Rightarrow\ &y+z'_x=yf'\cdot\frac{xz'_x-z}{x^2}\\
\Rightarrow\ &xy+xz'_x=yf'\cdot(z'_x-\frac{z}{x})=\frac{y}{x}f'\cdot xz'_x-\frac{y}{x}f'\cdot z\\
\Rightarrow\ &(\frac{y}{x}f'-1)xz'_x=xy+\frac{y}{x}f'\cdot z.\quad(1)
\end{split}
\]

方程 $xy+z=yf(y+\frac{z}{x})$ 两边对 $y$ 求偏导数, $z$ 看成 $x,y$ 的函数.

\[
\begin{split}
&x+z'_y=f+yf'\cdot (1+\frac{1}{x}z'_y)\\
\Rightarrow\ &xy+yz'_y=yf+y^2f'\cdot(1+\frac{1}{x}z'_y)\\
\Rightarrow\ &xy+yz'_y=yf+y^2f'+\frac{y}{x}f'\cdot yz'_y\\
\Rightarrow\ &(\frac{y}{x}f'-1)yz'_y=xy-yf-y^2 f'.\quad(2)
\end{split}
\]

将 $(1)$ 和 $(2)$ 两式相加, 
\[
\begin{split}
(\frac{y}{x}f'-1)(xz'_x+yz'_y)&=2xy+\frac{y}{x}f'\cdot z-yf-y^2f'\\
&=2xy-yf+\frac{y}{x}(z-xy)f',\\
&=2xy-(xy+z)+\frac{y}{x}(z-xy)f'\\
&=(xy-z)\Bigl[1-\frac{y}{x}f'\Bigr],
\end{split}
\]

因此,
\[
xz'_x+yz'_y=z-xy.
\]